PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Esquema em corte de cascas esféricas concêntricas, com uma partícula de carga na origem. O eixo radial aponta para a direita, com os raios , , e indicados por linhas tracejadas. As regiões entre e e entre e estão sombreadas e identificadas como “condutor”; a cavidade central e a região entre e estão identificadas como “vácuo”. Setas indicam cargas nas superfícies de raios e .

Seja o arranjo tridimensional de cascas esféricas da figura acima, totalmente em repouso e geometricamente simétrico, composto da seguinte forma:

Dados:

• na origem, dentro de uma cavidade de vácuo, encontra-se uma partícula de carga -Q;
• na região a \le r < 2a, há uma camada metálica condutora inicialmente descarregada;
• em r = 2a, há uma casca muito fina de material não condutor uniformemente carregada com carga +q;
• na região 2a < r < 3a, há outra cavidade de vácuo;
• na região 3a \le r < 4a, há outra camada metálica condutora inicialmente descarregada;
• em r = 4a, há outra casca muito fina de material não condutor uniformemente carregada com carga +q.

Após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático nas camadas condutoras, a carga superficial total induzida em r = 3a é:

  1. A
    -Q + 2q
  2. B
    -q
  3. C
    +Q - 2q
  4. D
    +Q
  5. E
    +Q - q
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use dois fatos: dentro de um condutor em equilíbrio o campo elétrico é nulo e, pela lei de Gauss, o fluxo através de uma superfície gaussiana dentro dele é zero. Logo, a carga total englobada por essa superfície é nula.

  1. Primeira camada condutora (a \le r < 2a): uma gaussiana dentro dela envolve a carga -Q e a carga induzida na superfície r=a. Então q_a - Q = 0, ou seja, q_a = +Q.

  2. A camada estava descarregada, então a carga total dela é zero. Se em r=a há +Q, a face externa (em r=2a, parte condutora) fica com -Q.

  3. A casca não condutora em r=2a tem +q fixa. A carga total em r=2a passa a ser -Q+q.

  4. Segunda camada condutora (3a \le r < 4a): uma gaussiana dentro dela envolve tudo que está em r \le 3a e a carga induzida em r=3a. A carga englobada de dentro é -Q (partícula) +Q (em a) -Q (em 2a condutor) +q (casca em 2a) = -Q+q.

  5. Condição de campo nulo: (-Q+q) + q_{3a} = 0, logo

q_{3a} = Q - q
  1. Conferência: a face externa do condutor (em 4a) recebe -(Q-q)=-Q+q, pois a camada é neutra. Com a casca de +q, a carga total fica -Q+2q, que é a carga total do sistema (-Q+q+q). Consistente.

A carga induzida em r=3a vale +Q-q.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ a carga total do sistema, e não a induzida em r=3a.
  • BConsidera só a casca de +q em 2a, ignorando a carga -Q e a induzida.
  • CSoma q da casca externa de 4a, que não influencia a face interna do condutor.
  • DIgnora a casca de +q em 2a, que também é englobada pela gaussiana.

Assuntos: lei de Gauss, condutores em equilíbrio eletrostático, carga induzida.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗