PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 do IME 2027

Prova objetiva · Física

A posição (x\text{ , } y) e a velocidade (v_x\text{ , } v_y) do movimento de uma partícula no plano respeita as equações a seguir, onde t representa o instante de tempo:

x(t) = 9\text{ } v_y(t)
y(t) = -4\text{ } v_x(t)

Admitindo todos os dados em unidades SI, pode-se concluir que a trajetória da partícula é uma curva fechada e que o tempo para percorrê-la uma vez é:

  1. A
    \dfrac{1}{6}\ \pi
  2. B
    \dfrac{1}{3}\ \pi
  3. C
    3\ \pi
  4. D
    6\ \pi
  5. E
    12\ \pi
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Resolução comentada

Como v_x = \dfrac{dx}{dt} e v_y = \dfrac{dy}{dt}, as equações viram um sistema de equações diferenciais:

x = 9\,\dfrac{dy}{dt}, \qquad y = -4\,\dfrac{dx}{dt}
  1. Derive a primeira equação: \dfrac{dx}{dt} = 9\,\dfrac{d^2y}{dt^2}.
  2. Substitua na segunda: y = -4\cdot 9\,\dfrac{d^2y}{dt^2} = -36\,\dfrac{d^2y}{dt^2}.
  3. Reorganize: \dfrac{d^2y}{dt^2} = -\dfrac{1}{36}\,y.

Essa é a equação do movimento harmônico simples, \ddot y = -\omega^2 y, com \omega^2 = \dfrac{1}{36}, ou seja, \omega = \dfrac{1}{6}\ \text{rad/s}.

O mesmo vale para x (por simetria do sistema), com a mesma frequência angular. Assim, x e y oscilam harmonicamente com mesma frequência e defasagem de 90^\circ (pois x é proporcional à derivada de y), o que dá uma elipse: a trajetória é fechada.

O período é:

T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\cdot 6 = 12\pi\ \text{s}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa \omega=6 em vez de 1/6, ou seja, T=2\pi/6 errado, ainda dividido por 2.
  • BCalcula T=2\pi/6 tomando \omega=6, invertendo a frequência angular.
  • CUsa \omega = 2/3 (a partir de \sqrt{9\cdot4}/\ldots), valor sem base na equação.
  • DToma T=2\pi\cdot 3 ou \pi\cdot 6, esquecendo que \omega^2=1/36 implica \omega=1/6 e fator 2\pi.

Assuntos: movimento harmônico simples, equações diferenciais, cinemática no plano.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗