Questão 20 do IME 2026

Question

Gráfico no plano cartesiano xy mostrando a trajetória do asteroide dada por uma parábola com vértice no semi-eixo y negativo, uma estrela localizada na origem (0,0), e uma circunferência tracejada de raio b osculadora ao vértice da parábola.

Devido à interação gravitacional com uma estrela, localizada no ponto (0,0), um asteroide desloca-se ao longo da seguinte trajetória, indicada na figura:

y = \frac{x^2}{2b} - \frac{b}{2}

Dados:
• constante universal da gravitação: G;
• massa da estrela: M;
• massa do asteroide: m.

Observações:
• M \gg m para que se possa considerar a estrela fixa em (0,0);
• a circunferência de raio b tem o mesmo raio de curvatura da parábola em seu vértice;
• a velocidade do asteroide para y \gg b é desprezível.

A velocidade escalar do asteroide quando ele passa pelo ponto mais próximo da estrela é:

A
\sqrt{2GM/b}
B
2\sqrt{GM/b}
C
\frac{1}{2}\sqrt{GM/b}
D
\sqrt{GM/(2b)}
E
\sqrt{GM/b}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 do IME 2026

Prova objetiva · Física · Física: Gravitação universal e satélites

Gráfico no plano cartesiano xy mostrando a trajetória do asteroide dada por uma parábola com vértice no semi-eixo y negativo, uma estrela localizada na origem (0,0), e uma circunferência tracejada de raio b osculadora ao vértice da parábola.

Devido à interação gravitacional com uma estrela, localizada no ponto (0,0), um asteroide desloca-se ao longo da seguinte trajetória, indicada na figura:

y = \frac{x^2}{2b} - \frac{b}{2}

Dados:
• constante universal da gravitação: G;
• massa da estrela: M;
• massa do asteroide: m.

Observações:
• M \gg m para que se possa considerar a estrela fixa em (0,0);
• a circunferência de raio b tem o mesmo raio de curvatura da parábola em seu vértice;
• a velocidade do asteroide para y \gg b é desprezível.

A velocidade escalar do asteroide quando ele passa pelo ponto mais próximo da estrela é:

A
\sqrt{2GM/b}
B
2\sqrt{GM/b}
C
\frac{1}{2}\sqrt{GM/b}
D
\sqrt{GM/(2b)}
E
\sqrt{GM/b}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A trajetória é uma parábola, ou seja, uma órbita de energia mecânica total nula (o asteroide vem do infinito com velocidade desprezível). Vamos usar isso na conservação da energia.

Vértice da parábola: em x=0, y=-\frac{b}{2}. A distância à estrela (na origem) é r=\frac{b}{2}. Esse é o ponto mais próximo.
Energia total: longe da estrela, v\approx 0 e U\approx 0, logo E=0.
No ponto mais próximo:

\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=0 \;\Rightarrow\; v^2=\frac{2GM}{r}
Substituindo r=\frac{b}{2}:

v^2=\frac{2GM}{b/2}=\frac{4GM}{b}\;\Rightarrow\; v=2\sqrt{\frac{GM}{b}}

O dado do raio de curvatura serve apenas como informação extra (confirma que a parábola tem foco na estrela: distância focal b/2), não é necessário para a conta pela energia.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem toma a distância mínima como b (o raio da circunferência) e não b/2, a distância real do vértice à origem.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa r=b em vez de r=b/2, esquecendo que o vértice está em y=-b/2.
Cerro de conta, inverte o fator 2 e obtém velocidade quatro vezes menor que a correta.
Dusa r=2b ou perde um fator na energia, dando v^2=GM/(2b).
Eusa velocidade orbital circular \sqrt{GM/r} com r=b, em vez da energia nula.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Questão 20 no caderno Prova objetiva do IME 2026

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