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Questão 27 do IME 2025

Prova objetiva · Física · Física: Cinemática vetorial e composição de movimentos

Trapézio retângulo com bases horizontais e lado esquerdo vertical de comprimento $L$, deslocando-se para a direita com velocidade $u$. O lado direito inclinado forma um ângulo $\beta$ com o prolongamento horizontal da base inferior. O ponto P está nesse prolongamento, à distância $h$ do vértice inferior direito. Do ponto P parte uma seta de velocidade $v$, orientada para cima e para a direita, formando um ângulo $\alpha$ com a horizontal; uma linha tracejada prolonga essa direção.

Um trapézio retângulo desloca-se para a direita à velocidade escalar constante u. No instante inicial, um de seus vértices está à distância h do ponto P. Ainda nesse instante, um objeto parte do ponto P à velocidade constante v, indicada na figura juntamente com outras grandezas. O valor mínimo de v para que o objeto não seja atingido pelo trapézio, onde 0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}, é:

  1. A
    \frac{u}{\sen(\beta-\alpha)/\sen\beta+h\sen\alpha/L}
  2. B
    \frac{u\cos\beta}{\cos(\alpha+\beta)+h\sen\alpha/L}
  3. C
    \frac{u\sen\beta}{\sen\beta+h\sen\alpha/L}
  4. D
    \frac{u\sen\beta}{\sen(\beta+\alpha)+h\sen\alpha/L}
  5. E
    \frac{u}{\cos\alpha+h\sen\alpha\cos\beta/L}
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Resolução comentada

Coloque P na origem. No instante inicial, o vértice inferior direito do trapézio está em x=-h. O lado inclinado sobe até a altura L, e sua reta, com o trapézio se movendo, é:

x=-h+ut+y\cot\beta

O objeto está à direita dessa reta e precisa continuar à direita dela até passar da altura L, quando já está acima do trapézio. Como a distância horizontal entre o objeto e a reta varia linearmente com o tempo, basta impor que ela não seja negativa no instante em que y=L. No caso crítico, o objeto roça o vértice superior.

  1. Instante em que o objeto atinge a altura L: t=\dfrac{L}{v\sen\alpha}.
  2. Posição horizontal do objeto nesse instante: x=v\cos\alpha\,t=L\cot\alpha.
  3. Posição horizontal da reta em y=L: -h+ut+L\cot\beta.
  4. Condição crítica: L\cot\alpha=-h+\dfrac{uL}{v\sen\alpha}+L\cot\beta.
  5. Isolando: \dfrac{uL}{v\sen\alpha}=L(\cot\alpha-\cot\beta)+h.
  6. Portanto:
v=\frac{u}{\sen\alpha(\cot\alpha-\cot\beta)+h\sen\alpha/L}

Simplificando o primeiro termo do denominador:

\sen\alpha(\cot\alpha-\cot\beta)=\cos\alpha-\frac{\sen\alpha\cos\beta}{\sen\beta}=\frac{\sen(\beta-\alpha)}{\sen\beta}

Logo v_{\min}=\dfrac{u}{\sen(\beta-\alpha)/\sen\beta+h\sen\alpha/L}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BUsa \cos(\alpha+\beta) e um fator \cos\beta no numerador, que não vêm da condição de passar pelo vértice superior.
  • CIgnora o ângulo \alpha no primeiro termo do denominador, o que equivale a tratar o objeto como se subisse na vertical.
  • DTroca \beta-\alpha por \beta+\alpha e mantém \sen\beta no numerador, o que dá outro resultado.
  • EEsquece o termo -\sen\alpha\cos\beta/\sen\beta e o sinal certo da correção, trocando \cot\beta por \cos\beta.

Assuntos: Cinemática vetorial e composição de movimentos, Velocidade média e movimento uniforme.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗