PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 do IME 2025

Prova objetiva · Física · Física: Gravitação universal e satélites

Para simular a órbita (x(t),y(t)) do satélite de um planeta, no referencial do planeta, utilizou-se um modelo unidimensional com as seguintes equações:

x(t) = A\cos(\omega t) \qquad y(t) = B\sen(\omega t)

onde A, B e \omega são constantes e t é o instante de tempo.

Dados:

  • massa do planeta: M;
  • massa do satélite: m, onde m \ll M;
  • constante universal de gravitação: G;
  • C = \sqrt{A^2 - B^2};
  • localização do centro do planeta: (C,0).

A diferença entre a maior e a menor energia potencial gravitacional do satélite é:

  1. A
    2 AGmM/B^2
  2. B
    CGmM/B^2
  3. C
    2 CGmM/A^2
  4. D
    2 CGmM/B^2
  5. E
    AGmM/C^2
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Resolução comentada

A órbita é uma elipse de semieixos A (em x) e B (em y), com A>B. O planeta está em um foco, (C,0), onde C=\sqrt{A^2-B^2} é a distância do centro da elipse ao foco.

A energia potencial gravitacional é U=-\dfrac{GmM}{r}, sendo r a distância do satélite ao planeta. Ela é maior (menos negativa) quando r é máximo e menor quando r é mínimo.

  1. Distância mínima (periastro), no ponto (A,0): r_{min}=A-C.
  2. Distância máxima (apoastro), no ponto (-A,0): r_{max}=A+C.

Diferença entre a maior e a menor energia potencial:

\Delta U=-\frac{GmM}{A+C}+\frac{GmM}{A-C}=GmM\,\frac{(A+C)-(A-C)}{A^2-C^2}

Como A^2-C^2=B^2:

\Delta U=\frac{2CGmM}{B^2}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa 2A no numerador em vez de 2C, confundindo o semieixo com a distância focal.
  • Bperde o fator 2 que aparece na diferença (A+C)-(A-C)=2C.
  • Cusa A^2 no denominador, mas (A+C)(A-C)=A^2-C^2=B^2.
  • Enão corresponde à diferença das energias; mistura A e C^2 sem a simplificação correta.

Assunto: Gravitação universal e satélites.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗