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Questão 24 do IME 2025

Prova objetiva · Física · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Dois feixes de luz horizontais e paralelos, com setas indicando propagação para a direita. O feixe superior passa acima de um bloco retangular sombreado, enquanto o inferior atravessa o bloco, identificado por $n(x)$. Abaixo do bloco, o eixo $x$ aponta para a direita e marca $0$ na face esquerda e $L$ na face direita.

Dois feixes de luz em fase se propagam no vácuo para a direita paralelamente ao eixo x desenhado na figura. Um dos feixes atravessa um bloco com a forma de um paralelepípedo, em cujo meio o índice de refração é variável, provocando uma diminuição de velocidade e consequente atraso no tempo de viagem.

Dados:

• comprimento de onda do feixe de luz no vácuo: \lambda;
• comprimento do paralelepípedo: L;
• índice de refração no interior do paralelepípedo: n(x) = \sqrt{\frac{2L}{L+x}} ; 0 \leq x \leq L

O menor valor de L, para que a interferência entre os feixes, em um anteparo à direita do bloco, seja destrutiva, é:

  1. A
    \dfrac{\lambda}{2(2+3\sqrt{2})}
  2. B
    \dfrac{\lambda}{3(2\sqrt{2}-2)}
  3. C
    \dfrac{\lambda}{3(2-\sqrt{2})}
  4. D
    \dfrac{\lambda}{2(3+2\sqrt{2})}
  5. E
    \dfrac{\lambda}{2(3-2\sqrt{2})}
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Resolução comentada

A diferença de fase entre os feixes vem da diferença de caminho óptico. Com índice variável, o caminho óptico é \int_0^L n(x)\,dx, e no vácuo o outro feixe percorre L. A diferença de caminho é:

\Delta = \int_0^L n(x)\,dx - L
  1. Calculamos a integral, com n(x)=\sqrt{2L}\,(L+x)^{-1/2}:
\int_0^L \sqrt{2L}\,(L+x)^{-1/2}dx = \sqrt{2L}\cdot 2\left[\sqrt{L+x}\right]_0^L = 2\sqrt{2L}\,(\sqrt{2L}-\sqrt{L})

  1. Simplificando: 2\sqrt{2L}\cdot\sqrt{L}(\sqrt2-1)=2\sqrt2\,L(\sqrt2-1)=L(4-2\sqrt2).

  2. A diferença de caminho é então:

\Delta = L(4-2\sqrt2)-L = L(3-2\sqrt2)

Como 3-2\sqrt2\approx 0{,}17>0, o feixe no bloco fica atrasado.

  1. A interferência destrutiva ocorre quando \Delta=(2m+1)\lambda/2. O menor L corresponde a m=0:
L(3-2\sqrt2)=\frac{\lambda}{2}\ \Rightarrow\ L=\frac{\lambda}{2(3-2\sqrt2)}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExpressão que não resulta da diferença de caminho óptico calculada, com sinal e termos trocados.
  • BNão corresponde a \Delta=L(3-2\sqrt2); erro na integral do caminho óptico.
  • CNão corresponde a \Delta=L(3-2\sqrt2); erro na integral do caminho óptico.
  • DTroca o sinal e usaria 3+2\sqrt2, o que não vem da integral.

Assunto: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗