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Questão 22 do IME 2025

Prova objetiva · Física · Física: Força magnética

Esquema de um canhão de elétrons suspenso no teto por duas molas verticais, cada uma identificada por $k$. O retângulo que representa o canhão contém o texto “CANHÃO DE ELÉTRONS”. À esquerda de sua saída, um elétron identificado por $e^-$ tem uma seta apontando para a esquerda. Quatro setas horizontais também apontam para a esquerda e representam o campo magnético $\vec{B}$. No canto superior esquerdo, os eixos indicam $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ na diagonal para baixo e à esquerda.

Na figura, é apresentado um canhão oscilando preso ao teto por duas molas e disparando continuamente elétrons numa região sujeita a um campo magnético constante.

Dados:

• constante elástica de cada mola: k;
• amplitude de oscilação do canhão / par de molas: A;
• direção de oscilação do canhão / par de molas: y;
• vetor campo magnético: (\breve{}B,0,0);
• velocidade relativa de disparo dos elétrons em relação ao canhão: (\breve{}v,0,0);
• massa do elétron: m;
• massa do canhão: M;
• carga do elétron: \breve{}e.

Observações:

• o canhão oscila no plano xy;
• a velocidade inicial de um elétron disparado é obtida ao se somarem vetorialmente os efeitos da oscilação e do canhão parado;
• despreze o efeito gravitacional no movimento dos elétrons;
• m << M;
• despreze as interações elétricas entre os elétrons.

Nas condições acima, a maior coordenada z que algum elétron pode alcançar é:

  1. A
    \dfrac{mA\sqrt{2k\dfrac{A^2}{M}+v^2}}{eB}
  2. B
    \dfrac{m\sqrt{k\dfrac{A^2}{M}+v^2}}{eB}
  3. C
    \dfrac{mA\sqrt{2\dfrac{k}{M}}}{eB}
  4. D
    \dfrac{mA\sqrt{\dfrac{k}{M}}}{eB}
  5. E
    \dfrac{2mA\sqrt{2\dfrac{k}{M}}}{eB}
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Resolução comentada

O campo magnético aponta na direção x, a mesma do disparo. A componente da velocidade do elétron paralela a B não sofre força magnética. Só a componente perpendicular, no plano yz, faz o elétron girar em círculo, e o raio desse círculo é r=\dfrac{mv_\perp}{eB}.

  1. A velocidade inicial do elétron é a soma da velocidade de disparo, v na direção x, com a velocidade do canhão, que está na direção y. Logo v_\perp = v_y, a velocidade do canhão no instante do disparo.

  2. O canhão oscila em MHS com duas molas em paralelo, de constante efetiva 2k e massa M. A frequência angular é \omega=\sqrt{\dfrac{2k}{M}}.

  3. A velocidade máxima do canhão é v_{y,\max}=\omega A = A\sqrt{\dfrac{2k}{M}}.

  4. O elétron descreve uma hélice em torno de uma reta paralela a x. Com velocidade inicial na direção y, a trajetória circular no plano yz passa pelo ponto de disparo e tem centro deslocado em z por r. Assim, a maior coordenada z atingida é o diâmetro da circunferência, 2r, se o disparo for feito com a velocidade máxima.

Porém, o enunciado pede a maior coordenada z medida a partir da origem do disparo. Se o círculo parte de z=0 com velocidade em y, o centro fica em z=\pm r e a coordenada z máxima vale 2r, ou seja:

z_{\max}=\frac{2m\,A\sqrt{2k/M}}{eB}

O sinal da carga e o sentido de B definem o sinal de z, e o enunciado indica o sentido positivo de z como o que o elétron alcança.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana por somar v ao módulo da velocidade, mas só a componente perpendicular a B determina o raio; a C engana por dar o raio em vez do diâmetro.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AInclui v (componente paralela a B) no raio, mas ela não gera força magnética.
  • BTambém usa v no raio e esquece o fator A na velocidade, misturando as componentes.
  • CUsa o raio r em vez do diâmetro 2r como deslocamento máximo em z.
  • DUsa só uma mola (\omega=\sqrt{k/M}) e o raio em vez do diâmetro.

Assuntos: Força magnética, Movimento harmônico simples e pêndulos.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗