PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 do IME 2025

Prova objetiva · Física · Física: Leis de Newton e aplicações

Sistema de cinco discos com centros na mesma horizontal: A, de raio $r$, está em contato com B, de raio $2r$; B e C são concêntricos, sendo C de raio $r$ e em contato com D, de raio $3r$; D e E são concêntricos, sendo E de raio $r$. Um fio tangente à borda esquerda de A sustenta uma partícula de massa $m$, e outro fio tangente à borda direita de E sustenta uma partícula de massa $2m$. Uma seta indica a aceleração da gravidade $\vec{g}$ verticalmente para baixo.

Cinco discos A, B, C, D e E, de centros fixos, giram solidariamente conforme a geometria da figura. Duas partículas de massas m e 2m enrolam ou desenrolam fios inextensíveis às mesmas velocidades escalares das bordas de seus respectivos discos.

Dados:
• aceleração da gravidade: g;

Observações:
• os cinco discos estão inicialmente em repouso;
• os cinco centros dos discos estão na mesma horizontal;
• o disco A está engrenado ao disco B;
• ao girar, o disco B faz o disco C girar à mesma velocidade angular, pois B e C são concêntricos;
• o disco C está engrenado ao disco D;
• ao girar, o disco D faz o disco E girar à mesma velocidade angular, pois D e E são concêntricos;
• a partícula de menor massa está associada ao disco A e a de maior massa ao disco E;
• despreze as massas dos discos e desconsidere quaisquer deslizamentos.

Pelo princípio da conservação da energia, a aceleração (módulo e sentido) da partícula de maior massa, após o início de seu movimento, é:

  1. A
    2/19\ g, de baixo para cima (enrolando o fio)
  2. B
    2/19\ g, de cima para baixo (desenrolando o fio)
  3. C
    4/19\ g, de baixo para cima (enrolando o fio)
  4. D
    4/11\ g, de cima para baixo (desenrolando o fio)
  5. E
    4/11\ g, de baixo para cima (enrolando o fio)
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Resolução comentada

Primeiro, a relação entre as velocidades. Discos engrenados têm a mesma velocidade escalar na borda de contato, e discos concêntricos têm a mesma velocidade angular.

  1. A com B: \omega_A r = \omega_B \cdot 2r, logo \omega_A = 2\omega_B.
  2. C gira com B: \omega_C=\omega_B. C com D: \omega_B r=\omega_D\cdot 3r, logo \omega_D=\omega_B/3.
  3. E gira com D: \omega_E=\omega_B/3.

Velocidades das partículas (fios nas bordas de raio r):

v_1=\omega_A r=2\omega_B r,\qquad v_2=\omega_E r=\tfrac{\omega_B r}{3}

Logo v_1=6v_2.

Sentido: A e B giram em sentidos opostos, B e C no mesmo, C e D opostos, D e E no mesmo. Então A e D giram no mesmo sentido, e E também, ou seja, A e E giram no mesmo sentido. A partícula m está presa à borda esquerda de A e a 2m à borda direita de E. Se A gira no sentido anti-horário, sua borda esquerda sobe, então m sobe. E gira no mesmo sentido, anti-horário, e sua borda direita desce, então 2m desce.

Portanto, a partícula pesada (2m) desce e a leve (m) sobe, com v_1=6v_2. Pode ser que o sistema se mova assim, pois o torque da massa maior é suficiente? Vejamos pela energia, com v_2=v e v_1=6v:

2mg\,h-mg\,(6h)=\tfrac12(2m)v^2+\tfrac12 m(6v)^2

O lado esquerdo é negativo (2mgh-6mgh=-4mgh), então o movimento não ocorre nesse sentido. O sistema gira no sentido contrário: 2m sobe (enrola o fio) e m desce.

Com 2m subindo h e m descendo 6h:

6mgh-2mgh=4mgh=\tfrac12(2m)v^2+\tfrac12 m\,36v^2=19mv^2

Derivando em relação ao tempo, com h crescendo a taxa v: 4mg\,v=19m\cdot 2v a, ou seja,

a=\frac{4g}{38}=\frac{2}{19}g

A partícula de massa 2m sobe, enrolando o fio.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B tem o módulo certo, mas o sentido invertido: é preciso notar que a partícula leve, por ser 6 vezes mais rápida, vence a pesada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bacerta o módulo, mas o sentido é errado: a partícula de 2m sobe, pois o torque da massa m (6 vezes mais rápida) prevalece.
  • Cerra o módulo ao esquecer o fator 2 da derivada da energia cinética.
  • Dmódulo e sentido errados, pois ignora a relação de velocidades 6:1.
  • Emódulo errado, vindo de uma relação de velocidades incorreta.

Assuntos: Leis de Newton e aplicações, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗