Questão 10 do IME 2025

Primeiro calculamos r, de dentro para fora.

1. \sqrt{18-\sqrt{128}}=\sqrt{18-8\sqrt2}. Procuramos (a-b\sqrt2)^2=a^2+2b^2-2ab\sqrt2, com ab=4 e a^2+2b^2=18. Isso dá a=4, b=1, então a raiz vale 4-\sqrt2.
2. Como \sqrt{12}=2\sqrt3, o radicando seguinte fica \sqrt2-2\sqrt3+4-\sqrt2=4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2. Logo, a raiz vale \sqrt3-1.
3. 3+\sqrt3-1=2+\sqrt3, e \sqrt{2+\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}.
4. 2\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}=\sqrt{12}+2=2\sqrt3+2. Então 2+2\sqrt3+2=4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2, e a raiz vale \sqrt3+1.
5. r=\sqrt{3-\sqrt3+\sqrt3+1}=\sqrt4=2.

A inequação fica \sqrt{2025+\sqrt t}+\sqrt{2025-\sqrt t}\le\sqrt{4050}.

O domínio exige t\ge0 e \sqrt t\le2025, isto é, 0\le t\le2025^2.

No domínio, os dois lados são positivos e podemos elevar ao quadrado:

Uma raiz quadrada nunca é negativa, então ela deve ser zero: t=2025^2.

Verificação: com t=2025^2, o lado esquerdo é \sqrt{4050}+0, que é igual ao lado direito. A desigualdade vale.

Portanto há uma única solução, t=2025^2. Ela não está entre 0 e \frac{2025^2}{6}, nem entre \frac{2025^2}{3} e \frac{2025^2}{2}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AExiste solução: t=2025^2 satisfaz a desigualdade com igualdade.
• CA condição \sqrt{2025^2-t}\le0 força um único valor de t, não dois.
• DA única solução é 2025^2, muito maior que 2025^2/6.
• EA única solução é 2025^2, que está fora do intervalo entre 2025^2/3 e 2025^2/2.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Potenciação e radiciação.

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