PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

Uma matriz quadrada M é dita ortogonal se M \times M^T = I, em que I é a matriz identidade. O conjunto solução S contendo os valores de a, b e c para que a matriz

\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & a & 0 & 0 \\ b & \frac{1}{4} & 2b & 0 \\ \frac{c}{2} & 0 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}

seja ortogonal é:

  1. A
    S = \{a = \frac{1}{2}; b = -\frac{\sqrt{3}}{2}; c = 1\}
  2. B
    S = \{a = \frac{1}{2}; b = \frac{\sqrt{3}}{2}; c = 1\}
  3. C
    S = \{a = \frac{1}{2}; b = \frac{\sqrt{3}}{2}; c = -1\}
  4. D
    S = \{a = -\frac{1}{2}; b = \frac{\sqrt{3}}{2}; c = -1\}
  5. E
    S = \emptyset
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Resolução comentada

Uma matriz é ortogonal quando suas linhas (e também suas colunas) formam um conjunto ortonormal: cada linha tem módulo 1 e o produto escalar de duas linhas distintas é 0. Chamando as linhas de L_1,\dots,L_4:

L_1=(0,0,1,0), L_2=(\tfrac{\sqrt3}{2},a,0,0), L_3=(b,\tfrac14,2b,0), L_4=(\tfrac c2,0,0,\tfrac{\sqrt3}{2}).

  1. L_1\cdot L_3=0: o produto é 2b, logo b=0.
  2. Com b=0, L_3=(0,\tfrac14,0,0), que tem módulo \tfrac14\neq 1. Isso contradiz |L_3|=1.

Para confirmar: |L_3|^2=b^2+\tfrac1{16}+4b^2=1 exigiria 5b^2=\tfrac{15}{16}, ou seja, b^2=\tfrac{3}{16} e b\neq0. As duas condições são incompatíveis.

Como b precisa ser 0 (ortogonalidade com L_1) e ao mesmo tempo diferente de 0 (norma de L_3), nenhum valor de b serve. Portanto não existem a, b, c que tornem a matriz ortogonal, e o conjunto solução é vazio.

As alternativas A a D trazem b=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}, que não zera L_1\cdot L_3.

Alternativa E.

Pegadinha: As alternativas A a D parecem resultar de resolver só a norma de uma linha, sem testar o produto escalar entre as linhas 1 e 3, que exige b=0.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom b=-\tfrac{\sqrt3}{2}, L_1\cdot L_3=2b\neq0, então as linhas 1 e 3 não são ortogonais.
  • BCom b=\tfrac{\sqrt3}{2}, L_1\cdot L_3=2b\neq0, violando a ortogonalidade.
  • CMesmo erro: b\neq0 faz L_1\cdot L_3\neq0.
  • DTambém usa b\neq0, incompatível com L_1\cdot L_3=0.

Assuntos: matriz ortogonal, produto escalar, matrizes.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗