Questão 7 do IME 2024

Question

Seja uma matriz com 100 linhas e 100 colunas. O elemento da linha i e coluna j é denotado por a_{i,j}. Os elementos da matriz formam uma progressão aritmética (PA) de razão 5. O primeiro termo da progressão é o elemento a_{1,1} e tem seu valor igual a 10. Para formar essa PA, percorrem-se os elementos de uma mesma linha e concluída uma linha, passa-se para a próxima. Se n é o traço da matriz, a soma dos algarismos de n é:

A
10
B
19
C
23
D
28
E
32

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

Seja uma matriz com 100 linhas e 100 colunas. O elemento da linha i e coluna j é denotado por a_{i,j}. Os elementos da matriz formam uma progressão aritmética (PA) de razão 5. O primeiro termo da progressão é o elemento a_{1,1} e tem seu valor igual a 10. Para formar essa PA, percorrem-se os elementos de uma mesma linha e concluída uma linha, passa-se para a próxima. Se n é o traço da matriz, a soma dos algarismos de n é:

A
10
B
19
C
23
D
28
E
32

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Resolução comentada

Os elementos são percorridos linha por linha, então o elemento a_{i,j} ocupa a posição k=(i-1)\cdot 100+j na PA.

Termo geral da PA, com a_1=10 e razão 5: a_k = 10+5(k-1).

Na diagonal principal, j=i, então k = 100(i-1)+i = 101i-100 e k-1 = 101i-101 = 101(i-1).

Assim:

a_{i,i}=10+5\cdot 101\,(i-1)=10+505(i-1)

Os elementos da diagonal formam outra PA, com 100 termos, primeiro termo 10 e razão 505.

Último termo: a_{100,100}=10+505\cdot 99=10+49995=50005.
Traço (soma da PA): n=\dfrac{(10+50005)\cdot 100}{2}=50015\cdot 50=2\,500\,750.
Soma dos algarismos: 2+5+0+0+7+5+0=19.

Conferindo: 50015\cdot 50 = 2\,500\,750, correto.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhum cálculo correto do traço; soma de algarismos muito baixa para 2\,500\,750.
CResultado de erro de conta na soma da PA da diagonal, levando a um traço diferente de 2\,500\,750.
DVem de usar posição ou razão errada da diagonal, obtendo outro valor para n.
ETambém decorre de erro no termo geral da diagonal, gerando um traço incorreto.

Assuntos: progressão aritmética, matrizes, traço de matriz.

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Questão 7 no caderno Prova objetiva do IME 2024

Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗