Questão 5 do IME 2024

A condição pede que, para x em torno de 1 (sem incluir x=1), o valor de f(x) fique em (0,2), isto é, |f(x)-1|<1. O valor f(1)=2 não importa, pois x\neq 1.

Lado x>1: \dfrac{x^4-x^3}{x-1}=\dfrac{x^3(x-1)}{x-1}=x^3. Precisamos de 0<x^3<2, ou seja, x<\sqrt[3]{2} (para x>1 já vale x^3>1>0). Então x\in(1,\sqrt[3]{2}), o que dá |x-1|<\sqrt[3]{2}-1.

Lado x<1: f(x)=-2x+3. Precisamos de 0<-2x+3<2, ou seja, \dfrac12<x<\dfrac32. Com x<1, fica x\in(\tfrac12,1), o que dá |x-1|<\tfrac12.

Escolha de \alpha: o intervalo 0<|x-1|<\alpha vale para os dois lados ao mesmo tempo, então \alpha é o menor dos dois limites:

Como \sqrt[3]{2}\approx1{,}26, temos \sqrt[3]{2}-1\approx0{,}26<0{,}5.

Portanto o maior \alpha é \sqrt[3]{2}-1, que é o mesmo que -1+\sqrt[3]{2}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem analisa só o lado x<1 e esquece que \alpha deve servir aos dois lados, valendo o menor limite.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AMistura os dois limites, subtraindo 1/2 de \sqrt[3]{2}, sem sentido na condição.
• BÉ o limite só do lado esquerdo; o lado direito é mais restritivo (\approx0{,}26).
• CUsa o extremo x=\sqrt[3]{2} em vez da distância a 1, esquecendo de subtrair 1.
• EDistância que sairia de x=2 ou x=0; nesses pontos |f(x)-1|\ge1.

Assuntos: limite pela definição, função definida por partes, módulo.

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