PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

Seja o polinômio g(x) = x^5 + x^4 - 2x^3 + bx^2 + bx - 2b. O valor do maior inteiro k para o qual g(x) é divisível por (x + 2)^k para algum b inteiro é:

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5
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Resolução comentada

Agrupe os termos para fatorar o polinômio:

g(x) = x^3(x^2 + x - 2) + b(x^2 + x - 2) = (x^3 + b)(x^2 + x - 2)

Como x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1), temos:

g(x) = (x^3 + b)(x+2)(x-1)

O fator (x+2) já aparece uma vez. Para ter mais potências de (x+2), o fator x^3 + b precisa ter -2 como raiz:

  1. (-2)^3 + b = 0 \Rightarrow b = 8, que é inteiro.
  2. Com b=8: x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4).
  3. Vendo se -2 é raiz de x^2 - 2x + 4: 4 + 4 + 4 = 12 \neq 0. Não é.

Para qualquer outro b, x^3+b não se anula em -2, e a multiplicidade seria apenas 1. Além disso, (x-1) não contribui com (x+2).

Portanto, a maior multiplicidade da raiz -2 é 1 + 1 = 2, obtida com b = 8.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só o fator (x+2) que já aparece, sem ver que b=8 cria uma segunda raiz -2.
  • Csupõe que x^3+8 contribui com (x+2)^3, mas -2 é raiz simples de x^3+8.
  • Dnão corresponde à fatoração; a multiplicidade máxima é 2.
  • Econfunde o grau 5 do polinômio com a multiplicidade da raiz.

Assuntos: fatoração de polinômios, multiplicidade de raízes.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗