PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

Seja i tal que i^2 = -1. O valor do número real \alpha que satisfaz à equação

cis(7\pi/6) - 2cis(-7\pi/6) = \begin{vmatrix} -\sqrt{3} & -i & 0 \\ \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} & \alpha \\ i^5 & \sqrt{3} & -i/2 \end{vmatrix}

é:

  1. A
    3
  2. B
    \sqrt{3}/2
  3. C
    \sqrt{3}/4
  4. D
    \sqrt{3}/8
  5. E
    \sqrt{3}/16
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Resolução comentada

Calcule o lado esquerdo e o determinante separadamente e depois iguale.

Lado esquerdo. Como cis\,\theta=\cos\theta+i\,\sen\theta, temos:

  • cis(7\pi/6) = -\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}
  • cis(-7\pi/6) = \cos\frac{7\pi}{6}-i\,\sen\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}

Então:

-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}+\sqrt3-i=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{3i}{2}

Determinante. Use i^5=i e expanda pela primeira linha, que tem um zero:

  1. -\sqrt3\left[(-\sqrt3)(-\tfrac i2)-\alpha\sqrt3\right]=-\sqrt3\left(\tfrac{\sqrt3 i}{2}-\alpha\sqrt3\right)=-\tfrac{3i}{2}+3\alpha
  2. -(-i)\left[\tfrac{\sqrt3}{2}(-\tfrac i2)-\alpha i\right]=i\left(-\tfrac{\sqrt3 i}{4}-\alpha i\right)=\tfrac{\sqrt3}{4}+\alpha

Somando:

\det = 4\alpha+\frac{\sqrt3}{4}-\frac{3i}{2}

Igualando. As partes imaginárias coincidem (-\tfrac{3}{2}). Nas partes reais:

4\alpha+\frac{\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow 4\alpha=\frac{\sqrt3}{4}\Rightarrow \alpha=\frac{\sqrt3}{16}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a conta; ignora a divisão por 4 ao isolar \alpha.
  • BUsa \sqrt3/2, a parte real do lado esquerdo, como se fosse o próprio \alpha.
  • CEsquece de dividir por 4 o termo 4\alpha=\sqrt3/4, tomando \alpha=\sqrt3/4.
  • DErra a divisão: dividir \sqrt3/4 por 4 dá \sqrt3/16, não \sqrt3/8 (ex.: contaria 2\alpha em vez de 4\alpha).

Assuntos: determinantes, números complexos, forma trigonométrica.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗