PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

O número de soluções inteiras da inequação

\frac{(x+1)(x^9-1)(x^2-x+1)(x^2-10x+21)}{(x^6-1)(x^6+x^3+1)} < 0

é:

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    7
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Resolução comentada

Fatore tudo para simplificar a fração.

  1. x^9-1=(x^3-1)(x^6+x^3+1), então o fator x^6+x^3+1 aparece no numerador e no denominador.
  2. x^6-1=(x^3-1)(x^3+1) e x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).
  3. x^2-10x+21=(x-3)(x-7).

Assim, a expressão fica

\frac{(x+1)(x^3-1)(x^6+x^3+1)(x^2-x+1)(x-3)(x-7)}{(x^3-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^6+x^3+1)}

Cancelando os fatores comuns, sobra (x-3)(x-7).

O cancelamento só vale onde o denominador original não se anula. Os fatores x^2-x+1 e x^6+x^3+1 nunca se anulam (nos reais). Já x^3-1=0 dá x=1 e x+1=0 dá x=-1, então esses dois valores ficam excluídos do domínio.

Resolvemos então (x-3)(x-7)<0. A parábola tem concavidade para cima, logo o produto é negativo entre as raízes: 3<x<7.

Os inteiros nesse intervalo são 4, 5 e 6. Os valores excluídos, 1 e -1, não estão no intervalo e não alteram a contagem.

São 3 soluções inteiras.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Binclui um dos extremos (3 ou 7), mas a desigualdade é estrita e o produto vale zero neles.
  • Cconta os dois extremos ou outros valores fora do intervalo aberto 3<x<7.
  • Dnão simplifica a fração e erra o sinal ou o intervalo ao analisar os fatores.
  • Enão simplifica a fração e erra o sinal ou o intervalo ao analisar os fatores.

Assuntos: inequação racional, fatoração.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗