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Questão 29 do IME 2024

Prova objetiva · Física

Casca esférica condutora com raio interno a e raio externo 2a, com uma carga pontual -Q em seu centro (x = 0). Um túnel estreito atravessa a casca ao longo do eixo x. Uma partícula com carga +q encontra-se em repouso na posição x = -3a. Estão marcadas no eixo x as posições -3a, -2a, -a, a e 2a.

O arranjo da figura é composto por uma casca esférica condutora oca de espessura a com uma partícula de carga negativa fixada em seu centro. A casca possui um túnel muito estreito em torno do eixo x, por onde uma partícula de carga positiva, inicialmente em repouso, pode atravessá-la.

Dados:

• massa da partícula de carga positiva: m;
• carga da partícula positiva: +q;
• carga da partícula negativa: -Q;
• constante eletrostática do meio não condutor (vácuo): k;
• raio interno da casca condutora: a;
• raio externo da casca condutora: 2a;
• posição inicial da partícula positiva: x = -3a;
• posição da partícula negativa: fixa em x = 0.

Observações:

• |q| \ll |Q|;
• a carga da partícula positiva é pequena o suficiente para não afetar o equilíbrio eletrostático na casca esférica condutora;
• despreze qualquer concentração de cargas nas paredes do túnel;
• o eixo x passa pelo centro da casca;
• a casca condutora está fixa e com carga total nula.

Ao ser liberada do repouso, a partícula positiva atinge a velocidade v em x = -a. Pode-se afirmar que v^2 é:

  1. A
    \dfrac{kqQ}{2am}
  2. B
    \dfrac{kqQ}{3am}
  3. C
    \dfrac{4kqQ}{3am}
  4. D
    \dfrac{3kqQ}{2am}
  5. E
    \dfrac{kqQ}{am}
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Resolução comentada

Use o teorema trabalho-energia: o trabalho da força elétrica entre x=-3a e x=-a vira energia cinética.

Campo em cada região. A carga -Q no centro induz +Q na superfície interna (raio a). Como a casca tem carga total nula, a superfície externa (raio 2a) fica com -Q. Assim:

  • Fora da casca (r>2a): o campo é o de uma carga total -Q, ou seja, E=\dfrac{kQ}{r^2}, apontando para o centro. A partícula +q é atraída.
  • Dentro do condutor (a<r<2a, no túnel): o campo é nulo, então não há força e não há trabalho.

Trabalho. De x=-3a até x=-2a (fora da casca) a força de atração é F=\dfrac{kqQ}{r^2}. O trabalho é:

W=\int_{2a}^{3a}\frac{kqQ}{r^2}\,dr=kqQ\left(\frac{1}{2a}-\frac{1}{3a}\right)=\frac{kqQ}{6a}

De -2a a -a o campo é nulo, então W=0.

Energia cinética. Como a partícula parte do repouso:

\frac{mv^2}{2}=\frac{kqQ}{6a}\ \Rightarrow\ v^2=\frac{kqQ}{3am}

Alternativa B.

Pegadinha: Quem ignora a casca calcula o trabalho de 3a até a (como se o campo existisse no condutor) e erra; no condutor o campo é nulo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa a variação de potencial entre 3a e a de forma errada, sem relação com a blindagem do condutor.
  • CValor sem sentido físico; ignora a blindagem e erra o fator numérico.
  • DErra a conta de 1/(2a)-1/(3a) e esquece o fator 1/2 da energia cinética.
  • EEsquece o fator 1/2 da energia cinética e considera trabalho até r=a como se não houvesse a casca.

Assuntos: campo elétrico em condutores, trabalho e energia, blindagem eletrostática.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗