Questão 28 do IME 2024

Question

Esquema de um espelho plano horizontal, com extremos A à esquerda e B à direita e hachuras abaixo do segmento. A partícula S é representada por um ponto acima do espelho, à direita. À esquerda, os eixos indicam x para a direita e y para cima.

Na figura, uma partícula S e os pontos extremos A e B de um espelho plano movem-se no plano xy de acordo com as seguintes equações paramétricas para as coordenadas (em metros) em função do instante t > 0 (em segundos):

\begin{cases}x_{\mathrm{A}}(t) = 5 + t\\y_{\mathrm{A}}(t) = -5 - 2t\end{cases}\qquad\begin{cases}x_{\mathrm{B}}(t) = 10 + t\\y_{\mathrm{B}}(t) = -5 - 2t\end{cases}\qquad\begin{cases}x_{\mathrm{S}}(t) = \sen(t)\\y_{\mathrm{S}}(t) = \cos(t)\end{cases}

Observação:

• o plano do espelho é ortogonal ao plano xy.

A maior velocidade escalar atingida pela imagem da partícula no espelho, em m/s, é:

A
3
B
\sqrt{17}
C
2(1 + \sqrt{5})
D
5
E
2\sqrt{5}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 do IME 2024

Prova objetiva · Física

Esquema de um espelho plano horizontal, com extremos A à esquerda e B à direita e hachuras abaixo do segmento. A partícula S é representada por um ponto acima do espelho, à direita. À esquerda, os eixos indicam x para a direita e y para cima.

Na figura, uma partícula S e os pontos extremos A e B de um espelho plano movem-se no plano xy de acordo com as seguintes equações paramétricas para as coordenadas (em metros) em função do instante t > 0 (em segundos):

\begin{cases}x_{\mathrm{A}}(t) = 5 + t\\y_{\mathrm{A}}(t) = -5 - 2t\end{cases}\qquad\begin{cases}x_{\mathrm{B}}(t) = 10 + t\\y_{\mathrm{B}}(t) = -5 - 2t\end{cases}\qquad\begin{cases}x_{\mathrm{S}}(t) = \sen(t)\\y_{\mathrm{S}}(t) = \cos(t)\end{cases}

Observação:

• o plano do espelho é ortogonal ao plano xy.

A maior velocidade escalar atingida pela imagem da partícula no espelho, em m/s, é:

A
3
B
\sqrt{17}
C
2(1 + \sqrt{5})
D
5
E
2\sqrt{5}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O espelho é horizontal, em y_E = -5-2t. A imagem é simétrica de S em relação a esse plano, então:

Posição horizontal da imagem: x_I = x_S = \sen t.
Posição vertical da imagem: y_I = 2y_E - y_S = 2(-5-2t) - \cos t = -10 - 4t - \cos t.

A velocidade vem da derivada das posições:

v_x = \cos t.
v_y = -4 + \sen t.

O módulo da velocidade é:

v^2 = \cos^2 t + (\sen t - 4)^2 = \cos^2 t + \sen^2 t - 8\sen t + 16 = 17 - 8\sen t.

O máximo ocorre com \sen t = -1, que é atingido para algum t>0 (por exemplo, t = 3\pi/2):

v^2 = 17 + 8 = 25 \Rightarrow v = 5\ \text{m/s}.

Falta checar se a imagem existe nesse instante, isto é, se o espelho de fato a reflete. A imagem só se forma se estiver dentro do campo do espelho, mas a questão pede a maior velocidade da imagem como ponto simétrico, então usamos a expressão geral. A velocidade de 5 m/s é o valor máximo.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com \sqrt{17-8\sen t}; não corresponde a nenhum caso de \sen t.
BÉ a velocidade com \sen t = 0, não o máximo.
CSoma as velocidades da partícula e do espelho como módulos, sem tratar vetorialmente.
ECorresponde a v^2=20, valor que 17-8\sen t não leva a ser o máximo.

Assuntos: espelho plano, cinemática vetorial, velocidade da imagem.

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Questão 28 no caderno Prova objetiva do IME 2024

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