PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 do IME 2024

Prova objetiva · Física

Um satélite artificial move-se por uma órbita aproximadamente circular estável em torno de um planeta. Posteriormente, o satélite acelera até a velocidade de escape do campo gravitacional em que se encontra devido ao impulso recebido pela ejeção de gases.

Dados:

  • constante universal da gravitação: G;
  • raio da órbita circular estável original do satélite: r;
  • massa do planeta: M;
  • \sqrt{2} \approx 1{,}41.

A diferença entre o módulo da velocidade de escape do satélite e o módulo da sua velocidade na órbita estável original é de aproximadamente:

  1. A
    0{,}59\sqrt{GM/r}
  2. B
    1{,}41\sqrt{GM/r}
  3. C
    0{,}41\sqrt{GM/r}
  4. D
    2{,}41\sqrt{GM/r}
  5. E
    2{,}82\sqrt{GM/r}
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Resolução comentada

Precisamos de duas velocidades, ambas calculadas a partir da distância r ao centro do planeta.

Velocidade na órbita circular. A força gravitacional faz o papel de força centrípeta:

\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv_o^2}{r}\ \Rightarrow\ v_o=\sqrt{\frac{GM}{r}}

Velocidade de escape. Para escapar, a energia mecânica total deve ser pelo menos zero (chegar ao infinito com velocidade nula):

\frac{mv_e^2}{2}-\frac{GMm}{r}=0\ \Rightarrow\ v_e=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{GM}{r}}

Diferença. Com \sqrt{2}\approx1{,}41:

  1. v_e\approx1{,}41\sqrt{GM/r}
  2. v_o=1{,}00\sqrt{GM/r}
  3. v_e-v_o\approx(1{,}41-1)\sqrt{GM/r}=0{,}41\sqrt{GM/r}

Ou seja, o satélite precisa ganhar cerca de 41% da velocidade orbital para escapar.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai errado, usando 1-0{,}41 em vez de 1{,}41-1.
  • BInforma apenas a velocidade de escape, sem subtrair a velocidade orbital.
  • DSoma as duas velocidades (1{,}41+1) em vez de subtrair.
  • EDobra a velocidade de escape (2\times1{,}41), sem sentido físico aqui.

Assuntos: velocidade de escape, órbita circular, gravitação.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗