Questão 1 do IME 2024

Divida o diagrama de Venn em 7 regiões e chame de a, b, c os elementos só de A, só de B, só de C. Chame de x, y, z os de A\cap B, A\cap C, B\cap C apenas, e de t os de A\cap B\cap C.

1. A 2ª condição diz que a=z, pois A\cap\overline{B\cup C} é só de A e \overline{A}\cap B\cap C é B\cap C apenas.
2. A 3ª condição diz que x+t<y+t<z+t, ou seja, x<y<z.
3. |A|=|B| dá a+x+y+t=b+x+z+t, logo a+y=b+z. Como a=z, temos b=y.
4. |A|=|C| dá a+x=c+z, logo c=x.

O total de elementos da união é a+b+c+x+y+z+t=2(x+y+z)+t.

Para minimizar a soma, queremos o menor número de elementos, usando os menores inteiros 1,2,\dots,n. Como x<y<z são inteiros não negativos, o mínimo é x=0, y=1, z=2, com t=0. Então a=2, b=1, c=0 e n=6.

Conferindo: |A|=2+0+1=3, |B|=1+0+2=3, |C|=0+1+2=3. Os conjuntos não são vazios e |A\cap B|=0<|A\cap C|=1<|B\cap C|=2.

A união tem 6 elementos, e a menor soma possível é 1+2+3+4+5+6=21.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Bcorresponde a uma união com 8 elementos (1 a 8), mais do que o necessário.
• Ccorresponde a 9 elementos (1 a 9), o que exigiria regiões desnecessariamente grandes.
• Dcorresponde a 10 elementos (1 a 10), longe do mínimo.
• Ecorresponde a 12 elementos (1 a 12), longe do mínimo.

Assuntos: teoria dos conjuntos, cardinalidade, diagramas de Venn.

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