PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 do IME 2024

Prova objetiva · Física

Esquema com eixos x para a direita, y para cima e z na diagonal para baixo e à esquerda. Um fio condutor retilíneo, indicado pelo rótulo “fio condutor”, atravessa o centro de uma trajetória circular tracejada, perpendicular ao fio. Uma pequena espira, indicada pelo rótulo “espira condutora”, está sobre essa trajetória. Uma linha vertical tracejada que passa pelo centro da espira é indicada pelo rótulo “eixo da espira”. No centro da trajetória, linhas traço-ponto e marcas de ângulo reto indicam as direções perpendiculares ao fio.

O sistema da figura é montado com o objetivo de determinar a resistência elétrica de uma espira condutora de área A. O centro dessa espira descreve uma trajetória circular de raio R e período t, à velocidade angular constante, ao redor de um fio também condutor com uma corrente elétrica contínua I. A corrente elétrica na espira é medida e seu valor oscila harmonicamente entre +i e -i.

Dados:

  • área da espira: A = 1\ \text{cm}^2;
  • raio da trajetória do centro da espira: R = 10\ \text{cm};
  • período da trajetória circular do centro da espira: t = 2\ \text{s};
  • corrente elétrica contínua do fio condutor: I = 50\ \text{A};
  • amplitude da corrente elétrica induzida medida na espira: i = 1\ \text{mA};
  • permeabilidade magnética no vácuo: \mu = 4\pi . 10^{-7}\ \text{T.m/A}.

Observações:

  • o sistema segue a orientação dos eixos xyz desenhados na figura;
  • o fio condutor é paralelo ao eixo z;
  • o eixo da espira está sempre paralelo ao eixo y;
  • o plano da espira é sempre paralelo ao plano xz;
  • o plano da trajetória do centro da espira é paralelo ao plano xy;
  • considere que as linhas de campo magnético que atravessam a espira estejam paralelas;
  • para toda frequência f, considere \dfrac{\Delta\sen(2\pi ft)}{\Delta t} = 2\pi f\cos(2\pi ft).

A resistência da espira, em \mu\Omega, é:

  1. A
    20\pi
  2. B
    2{,}5\pi
  3. C
    4\pi
  4. D
    5\pi
  5. E
    10\pi
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Resolução comentada

O fio é paralelo a z, então o campo dele circula no plano xy e tem módulo B=\dfrac{\mu I}{2\pi R}, com R a distância do fio ao centro da espira. A espira tem o plano paralelo a xz, portanto sua normal é o eixo y. Só a componente de \vec B na direção y gera fluxo.

Se o centro da espira está a um ângulo \theta=\omega t do eixo x, o campo é tangencial, perpendicular ao raio. Sua componente em y é B\cos\theta (em módulo). Assim:

\Phi = B\,A\cos(\omega t)

Pelo dado da questão, derivando, a fem tem módulo:

\varepsilon = BA\,\omega\,\sen(\omega t)

A amplitude da fem é \varepsilon_{max}=BA\omega, e a corrente é i=\varepsilon_{max}/r, com r a resistência da espira.

Cálculos:

  1. B=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot 50}{2\pi\cdot 0{,}1}=10^{-4}\ \text{T}
  2. \omega=\dfrac{2\pi}{t}=\pi\ \text{rad/s}
  3. A=10^{-4}\ \text{m}^2
  4. \varepsilon_{max}=10^{-4}\cdot10^{-4}\cdot\pi=\pi\cdot10^{-8}\ \text{V}
  5. r=\dfrac{\varepsilon_{max}}{i}=\dfrac{\pi\cdot10^{-8}}{10^{-3}}=\pi\cdot10^{-5}\ \Omega=10\pi\ \mu\Omega

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADobra o resultado, por exemplo usando \omega=2\pi ou esquecendo o fator 2 no denominador de B.
  • BDivide o valor correto por 4, com erro nas potências ou na frequência.
  • CNão corresponde a nenhuma combinação correta de B, \omega e A.
  • DMetade do valor correto, por usar \omega=\pi/2 ou erro de fator 2 no campo.

Assuntos: lei de Faraday, campo magnético de fio retilíneo, fluxo magnético.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗