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Questão 17 do IME 2024

Prova objetiva · Física

Recipiente cônico de vértice voltado para baixo, parcialmente imerso em água contida em um tanque. A abertura circular do cone está acima da superfície da água. A distância vertical da abertura à superfície da água e a distância da superfície ao vértice são ambas indicadas por . No vértice, há uma marca de ângulo reto entre as laterais do cone. Uma seta vertical para baixo, ao lado da abertura, indica . O líquido está identificado como “água”.

Um recipiente vazio de formato cônico está parcialmente imerso na água e em equilíbrio, como geometria apresentada na figura. Insere-se no interior do recipiente uma partícula de massa m = K\rho\pi h^3, onde K é uma constante, \rho é a massa específica da água e h está indicado na figura. Após essa inserção, o recipiente sofre um pequeno deslocamento, afundando uma altura \Delta h.

Dado:

• aceleração da gravidade: g.

Observações:

• a espessura do recipiente é muito pequena;
• \Delta h \ll h;
• para |\alpha| \ll 1, (1 + \alpha)^n \approx 1 + n\alpha.

A altura \Delta h que o recipiente irá afundar até o novo ponto de equilíbrio é:

  1. A
    Kh/3
  2. B
    Kh/6
  3. C
    Kh
  4. D
    3Kh
  5. E
    2Kh
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Resolução comentada

O recipiente flutua em equilíbrio, então o empuxo é igual ao peso. Ao inserir a partícula, o peso aumenta em mg, e o empuxo precisa aumentar o mesmo tanto. O empuxo é \rho g V_{sub}, onde V_{sub} é o volume do cone submerso.

A figura mostra o ângulo reto no vértice, então o semiângulo do cone é 45^\circ. Logo, o raio do cone à profundidade x é igual a x, e o volume submerso é V=\frac{1}{3}\pi x^3.

  1. Na situação inicial, x=h e o raio na superfície da água é h.
  2. Ao afundar \Delta h, o volume submerso passa a ser V'=\frac{1}{3}\pi (h+\Delta h)^3.
  3. O acréscimo de volume é \Delta V=\frac{\pi}{3}\left[(h+\Delta h)^3-h^3\right].
  4. Com \Delta h\ll h, usamos (1+\alpha)^n\approx 1+n\alpha: (h+\Delta h)^3=h^3\left(1+\frac{\Delta h}{h}\right)^3\approx h^3+3h^2\Delta h.
  5. Então \Delta V\approx \frac{\pi}{3}\cdot 3h^2\Delta h=\pi h^2\Delta h.

O acréscimo de empuxo deve igualar o peso da partícula:

\rho g\,\pi h^2\Delta h=K\rho\pi h^3 g

Cancelando \rho, g, \pi e h^2, obtemos \Delta h=Kh.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMantém o fator 1/3 do volume do cone na variação, sem derivar o termo x^3 (que dá o fator 3).
  • BErro de fator na área da superfície, dividindo por 6 sem base na geometria do cone.
  • DMultiplica por 3 ao usar a expansão binomial, esquecendo de cancelar com o 1/3 do volume do cone.
  • EUsa área da seção errada (por exemplo, diâmetro no lugar do raio), dobrando o resultado.

Assuntos: empuxo, equilíbrio de flutuação, aproximação binomial.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗