Questão 15 do IME 2024

Cada bola, lançada do degrau i, para em um dos degraus 0,1,\dots,i-1, todos com a mesma probabilidade \frac{1}{i}. Não há mais de uma queda: a bola para direto no degrau sorteado.\n\nSeja b o degrau onde a bola preta para, com b\in\{0,\dots,m-1\} e probabilidade \frac1m cada.\n\nA bola branca parte do degrau n e para em \{0,\dots,n-1\}. Como n>m, todos os valores possíveis de b estão nesse conjunto. Ela para abaixo de b quando cai em um dos degraus 0,1,\dots,b-1, que são b degraus. Isso tem probabilidade \frac{b}{n}.\n\nPela probabilidade total:\n\n1. P=\sum_{b=0}^{m-1}\frac1m\cdot\frac bn=\frac{1}{mn}\sum_{b=0}^{m-1} b\n2. \sum_{b=0}^{m-1} b=\frac{m(m-1)}{2}\n3. P=\frac{1}{mn}\cdot\frac{m(m-1)}{2}=\frac{m-1}{2n}\n\nTeste: para m=1 a bola preta cai no degrau 0, e a branca não pode parar abaixo dele. A fórmula dá 0, o que confere.\n\nAlternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AExpressão sem origem na soma; não reproduz o resultado \frac{m-1}{2n} (por exemplo, para m=2 dá \frac{1}{2n} em vez de \frac{1}{2n}\cdot 1 só coincide por acaso, falha para m=3).
• BResultado de somar de 1 a m-1 sem dividir por m e com erro de fatoração; não bate com m=1 de forma geral.
• CEsquece de excluir o degrau da bola preta, usando m em vez de m-1 no numerador.
• DNão divide a soma \frac{m(m-1)}{2} por m (probabilidade \frac1m de cada degrau da preta) e erra a soma.

Assuntos: probabilidade, probabilidade total, soma de PA.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.