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Questão 14 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

Sejam \alpha e \beta dois planos não paralelos que se interceptam na reta r e cujo ângulo diedro é \pi/6 radianos. Tome pontos A,B,C,D de \alpha e, por cada um destes pontos, trace retas ortogonais a \alpha que interceptam \beta nos pontos A',B',C',D', respectivamente. Sabendo que o quadrilátero ABCD é um trapézio cuja diagonal AC é paralela a r, a razão entre as áreas de ABCD e A'B'C'D' é:

  1. A
    1
  2. B
    3/2
  3. C
    \sqrt{3}/2
  4. D
    \sqrt{3}/3
  5. E
    1/3
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Resolução comentada

Cada ponto A' de \beta está sobre a reta perpendicular a \alpha que passa por A. Logo, A é a projeção ortogonal de A' sobre \alpha, e o mesmo vale para B, C, D. Assim, ABCD é a projeção ortogonal de A'B'C'D' (que está em \beta) sobre o plano \alpha.

Quando uma figura plana é projetada ortogonalmente sobre outro plano, sua área é multiplicada por \cos\theta, em que \theta é o ângulo entre os planos. Para ver isso, tome a direção paralela a r: ela não muda na projeção. A direção perpendicular a r dentro de \beta é inclinada de \theta em relação a \alpha, então seus comprimentos são multiplicados por \cos\theta.

Aqui \theta=\pi/6, então:

\frac{\text{área}(ABCD)}{\text{área}(A'B'C'D')}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}

A informação de que ABCD é um trapézio com AC \parallel r não altera o resultado. O fator \cos\theta vale para qualquer região plana.

Alternativa C.

Pegadinha: Os dados do trapézio e de AC paralela a r são distratores; a razão depende só do ângulo entre os planos. A alternativa D engana quem usa a tangente em vez do cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe que as áreas são iguais, ignorando que a projeção ortogonal reduz a área pelo fator \cos\theta.
  • BValor sem sentido geométrico aqui; além disso, a razão entre área da projeção e área original nunca passa de 1.
  • DConfunde com \tg(\pi/6)=\sqrt{3}/3 em vez de usar o cosseno.
  • EResultado sem relação com o fator \cos 30^\circ; parece vir de usar \cos^2 ou \tg^2 do ângulo.

Assuntos: projeção ortogonal, ângulo diedro, razão de áreas.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗