Questão 13 do IME 2024

Coloque o observador O no plano horizontal, a uma distância x da base do muro. O muro tem altura L/2, então B está a L/2 do chão. A barra vai de B até A, a L/2 + L = 3L/2 do chão.

O ângulo AOB é a diferença entre os ângulos de elevação de A e de B:

1. Fórmula da diferença: \tg(\alpha-\beta)=\dfrac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}.

2. Substituindo: \tg\theta=\dfrac{L/x}{1+\dfrac{3L^2}{4x^2}}=\dfrac{L x}{x^2+\dfrac{3L^2}{4}}=\dfrac{L}{x+\dfrac{3L^2}{4x}}.

3. Para maximizar \theta, minimizamos x+\dfrac{3L^2}{4x}. Por MA ≥ MG: x+\dfrac{3L^2}{4x}\ge 2\sqrt{\dfrac{3L^2}{4}}=\sqrt3\,L, com igualdade em x=\dfrac{\sqrt3 L}{2}.

4. Então \tg\theta_{\max}=\dfrac{L}{\sqrt3 L}=\dfrac{\sqrt3}{3}, ou seja, \theta_{\max}=30^\circ.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• B60^\circ teria \tg=\sqrt3, valor que não sai da expressão; confunde \sqrt3/3 com \sqrt3.
• C75^\circ é grande demais; o máximo de \tg\theta é \sqrt3/3, bem menor que \tg 75^\circ.
• D15^\circ não corresponde a \tg\theta=\sqrt3/3; é um valor menor que o máximo.
• E45^\circ exigiria \tg\theta=1, mas o máximo é \sqrt3/3\approx0{,}58.

Assuntos: trigonometria, tangente da diferença, máximos e mínimos.

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