PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

Considere duas circunferências no plano cartesiano Oxy, uma de raio igual a 6 e centro no ponto (6,6) e outra de centro na origem e tangente exteriormente à primeira. A equação da tangente interior comum às circunferências é:

  1. A
    y + 2x - 3 \left( \sqrt{2} - 2 \right) = 0
  2. B
    2y + x + 6 \left( \sqrt{2} - 2 \right) = 0
  3. C
    y + x + 6 \left( \sqrt{2} - 2 \right) = 0
  4. D
    y + x - 6 \left( \sqrt{2} - 2 \right) = 0
  5. E
    2y + x - 6 \left( \sqrt{2} - 2 \right) = 0
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Resolução comentada

Duas circunferências tangentes exteriormente têm uma única tangente interior comum: a reta perpendicular à linha dos centros, passando pelo ponto de tangência.

A primeira tem centro C_1=(6,6) e raio 6. A segunda tem centro na origem. A distância entre os centros é:

d=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}

Como são tangentes exteriormente, d=R+r, então o raio da segunda é:

r=6\sqrt{2}-6

O ponto de tangência T fica sobre o segmento que liga os centros, a distância r da origem. A direção da origem para C_1 é \left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right), então:

T=r\cdot\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right)

Calculando a coordenada:

(6\sqrt2-6)\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=6-3\sqrt2

Portanto T=(6-3\sqrt2,\ 6-3\sqrt2).

A linha dos centros tem inclinação 1, logo a tangente comum tem inclinação -1 e equação x+y=k, com:

k=2(6-3\sqrt2)=12-6\sqrt2=-6(\sqrt2-2)

Assim: x+y+6(\sqrt2-2)=0.

Conferindo: a distância da origem à reta é \dfrac{|12-6\sqrt2|}{\sqrt2}=6\sqrt2-6=r. ✔

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana por ter a inclinação correta e diferir de C apenas no sinal da constante.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATem coeficientes 2 e 1, ou seja, inclinação −2, que não é perpendicular à linha dos centros (inclinação 1).
  • BInclinação −1/2, que não é perpendicular à reta que une os centros.
  • DTem a inclinação certa, mas o sinal do termo constante está trocado, o que daria uma reta fora do espaço entre as circunferências.
  • EInclinação −1/2 e constante com sinal trocado, ambos errados.

Assuntos: circunferências tangentes, equação da reta, geometria analítica.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗