Questão 9 do IME 2023

Question

Um polígono regular possui 2n vértices (n \in \mathbb{N},\ n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 vértices do polígono, formando o quadrilátero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um retângulo é

A
\frac{\binom{n}{2}}{\binom{2n}{4}}
B
\frac{n - 1}{\binom{2n}{4}}
C
\frac{\binom{n+2}{4}}{\binom{2n}{4}}
D
\frac{\binom{2n}{2}}{6\binom{2n}{4}}
E
\frac{n^2 + 2n + 4}{12\binom{2n}{4}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Um polígono regular possui 2n vértices (n \in \mathbb{N},\ n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 vértices do polígono, formando o quadrilátero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um retângulo é

A
\frac{\binom{n}{2}}{\binom{2n}{4}}
B
\frac{n - 1}{\binom{2n}{4}}
C
\frac{\binom{n+2}{4}}{\binom{2n}{4}}
D
\frac{\binom{2n}{2}}{6\binom{2n}{4}}
E
\frac{n^2 + 2n + 4}{12\binom{2n}{4}}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O total de quadriláteros possíveis é \binom{2n}{4}, pois basta escolher 4 dos 2n vértices.

Vamos contar os retângulos. Um polígono regular de 2n vértices está inscrito numa circunferência. Um quadrilátero inscrito é retângulo quando suas diagonais são diâmetros, já que ângulos retos inscritos enxergam diâmetros.

Como 2n é par, cada vértice tem um vértice diametralmente oposto, e existem n diâmetros ligando vértices.

Todo retângulo é formado por 2 desses diâmetros (suas diagonais). Reciprocamente, quaisquer 2 diâmetros distintos têm 4 extremidades que formam um retângulo, pois as diagonais são iguais e se cortam no meio.

Logo, o número de retângulos é \binom{n}{2}.

A probabilidade é:

P=\frac{\binom{n}{2}}{\binom{2n}{4}}

Teste com n=2 (quadrado): \binom{2}{2}=1 retângulo e \binom{4}{4}=1 quadrilátero, probabilidade 1. Confere.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bn-1 não corresponde à contagem de pares de diâmetros; para n=3 dá 2 retângulos, mas existem 3.
C\binom{n+2}{4} não tem relação com a contagem de pares de diâmetros; para n=2 dá 1, mas para n=3 dá 5, e só há 3 retângulos.
DUsa \binom{2n}{2} (pares de vértices) dividido por 6, sem base na condição das diagonais serem diâmetros.
EExpressão polinomial sem fundamento geométrico; não dá 1 para n=2.

Assuntos: combinatória, probabilidade, polígonos inscritos.

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Questão 9 no caderno Prova objetiva do IME 2023

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