PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Seja f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1}). Então:

  1. A
    f(x) é uma função par.
  2. B
    f(x) é uma função ímpar.
  3. C
    f(2x) > f(x) para todo x \neq 0.
  4. D
    f(x) tem duas raízes reais.
  5. E
    f(x) não tem raiz real.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, vale notar que x+\sqrt{x^2+1}>0 para todo real x, pois \sqrt{x^2+1}>|x|. Logo o domínio é todo \mathbb{R}.

Para testar paridade, calculamos f(-x):

  1. f(-x)=\log(-x+\sqrt{x^2+1}).
  2. Multiplicamos e dividimos pelo conjugado x+\sqrt{x^2+1}:
    -x+\sqrt{x^2+1}=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.
  3. Então f(-x)=\log\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)=-\log(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x).

Portanto f é ímpar (B é verdadeira, e A é falsa, pois f não é identicamente nula).

Verificando as demais: f(0)=\log(0+1)=0, então 0 é raiz, o que derruba (E). Como x+\sqrt{x^2+1} é crescente e o log também, f é estritamente crescente, então só tem uma raiz, o que derruba (D). Já (C) falha para x<0: como f é crescente, 2x<x implica f(2x)<f(x).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AComo f(-x)=-f(x) e f não é nula, ela não é par.
  • CVale só para x>0; para x<0, 2x<x e f crescente dá f(2x)<f(x).
  • Df é estritamente crescente, logo tem uma única raiz (x=0).
  • Ef(0)=\log 1=0, então existe raiz real.

Assuntos: função ímpar, logaritmo, conjugado.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗