PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Considere um ponto P cujas coordenadas (x,y), x,y \in \mathbb{R}, satisfazem o sistema

\begin{cases} 4 \operatorname{cossec}(\alpha)x - 6 \operatorname{cotg}(\alpha)y &= 4 \operatorname{sen}(\alpha) \\ 12 \operatorname{cossec}(\alpha)y - 8 \operatorname{cotg}(\alpha)x &= 0 \end{cases}

onde \alpha é um ângulo em radianos diferente de k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). O lugar geométrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o ângulo \alpha, é um segmento de:

  1. A
    reta horizontal.
  2. B
    reta vertical.
  3. C
    reta inclinada.
  4. D
    elipse.
  5. E
    parábola.
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Resolução comentada

Para eliminar as frações, multiplique as duas equações por \operatorname{sen}\alpha, que é diferente de zero porque \alpha \neq k\pi. Lembre que \operatorname{cossec}\alpha\cdot\operatorname{sen}\alpha=1 e \operatorname{cotg}\alpha\cdot\operatorname{sen}\alpha=\cos\alpha.

  1. Primeira equação: 4x-6\cos\alpha\,y=4\operatorname{sen}^2\alpha.
  2. Segunda equação: 12y-8\cos\alpha\,x=0, logo y=\dfrac{2}{3}\cos\alpha\,x.

Substituindo y na primeira:

4x-6\cos\alpha\cdot\frac{2}{3}\cos\alpha\,x=4\operatorname{sen}^2\alpha
4x(1-\cos^2\alpha)=4\operatorname{sen}^2\alpha\ \Rightarrow\ 4x\operatorname{sen}^2\alpha=4\operatorname{sen}^2\alpha\ \Rightarrow\ x=1.

A divisão por \operatorname{sen}^2\alpha é permitida, pois ele não se anula.

Então y=\dfrac{2}{3}\cos\alpha. Como \alpha\neq k\pi, temos \cos\alpha\in(-1,1), e portanto y\in\left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right).

Os pontos satisfazem x=1 com y variando num intervalo limitado. Isso é um segmento de reta vertical.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ay varia com \cos\alpha e x é constante, então o segmento é vertical, não horizontal.
  • Cx é fixo em 1, então não há inclinação.
  • DNão há termo quadrático: o \operatorname{sen}^2\alpha se cancela e x fica constante, em vez de aparecer uma equação de elipse.
  • ENenhuma relação quadrática entre x e y aparece; o lugar geométrico é linear.

Assuntos: lugar geométrico, trigonometria, sistema linear.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗