PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

A soma dos inversos das soluções inteiras da equação

\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 2 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{vmatrix} = 0

é

  1. A
    0
  2. B
    -\dfrac{19}{30}
  3. C
    -15
  4. D
    15
  5. E
    \dfrac{19}{30}
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Resolução comentada

Calculamos o determinante pela regra de Sarrus.

Diagonais principais: x\cdot x\cdot x + 2\cdot 3\cdot 2 + 3\cdot 2\cdot 3 = x^3 + 12 + 18 = x^3+30.

Diagonais secundárias: 3\cdot x\cdot 2 + x\cdot 3\cdot 3 + 2\cdot 2\cdot x = 6x + 9x + 4x = 19x.

O determinante é a diferença: x^3 - 19x + 30 = 0.

Procuramos raízes inteiras entre os divisores de 30:

  1. x=2: 8 - 38 + 30 = 0. Serve.
  2. Dividindo por (x-2): x^3-19x+30=(x-2)(x^2+2x-15).
  3. x^2+2x-15=0 dá x=3 ou x=-5.

As três raízes são inteiras: 2, 3 e -5.

Soma dos inversos:

\frac12+\frac13-\frac15=\frac{15+10-6}{30}=\frac{19}{30}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma soma correta; as raízes são 2, 3 e -5, cuja soma dos inversos não é nula.
  • BErro de sinal: troca o sinal do resultado, ou considera as raízes -2, -3 e 5.
  • CConfunde com a soma das raízes ou produto das raízes (-30), não com a soma dos inversos.
  • DTambém confunde soma das raízes/produto, e erra o sinal; não calcula 1/2+1/3-1/5.

Assuntos: determinantes, equação polinomial, raízes inteiras.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗