PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Seja um tetraedro de vértices A, B, C e D. São dados os ângulos em radianos:

A\widehat{D}B = \frac{\pi}{3} \quad \text{e} \quad C\widehat{D}B = A\widehat{D}C = \frac{\pi}{2}

e os comprimentos das arestas em centímetros \overline{CD} = 3 e \overline{AD} = \overline{BD} = 4.
A distância em centímetros do ponto D ao plano ABC é

  1. A
    \frac{6}{7}\sqrt{7}
  2. B
    3
  3. C
    2\sqrt{3}
  4. D
    4
  5. E
    5
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Resolução comentada

Como CD é perpendicular a DA e a DB, a aresta CD é perpendicular ao plano ABD. Posicione D na origem, com C=(0,0,3), A=(4,0,0) e B=(4\cos 60^\circ, 4\sen 60^\circ, 0)=(2,2\sqrt{3},0).

A distância de D ao plano ABC pode sair do volume do tetraedro, V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h.

  1. Base ABD: triângulo com lados 4 e 4 e ângulo de 60^\circ entre eles, logo S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\cdot\sen 60^\circ=4\sqrt{3}.
  2. Altura relativa a essa base: CD=3. Então V=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot3=4\sqrt{3}.
  3. Triângulo ABD é equilátero, então AB=4.
  4. Triângulo ABC: AC=\sqrt{16+9}=5 e BC=5, com AB=4. A altura até AB é \sqrt{25-4}=\sqrt{21}, então S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{21}=2\sqrt{21}.
  5. Distância h de D ao plano ABC: V=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{21}\cdot h.
4\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{21}}{3}h \Rightarrow h=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}=\frac{6}{\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{7}}{7}

Portanto h=\frac{6}{7}\sqrt{7} cm.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BÉ apenas o comprimento de CD, que não é a distância de D ao plano ABC.
  • CValor sem base nas contas; 2\sqrt{3} é a altura do triângulo equilátero ABD até AB só que arredondada de forma errada (a altura é 2\sqrt3 mas não é a distância pedida).
  • DConfunde a distância com o comprimento de AD ou BD.
  • EÉ o comprimento de AC e BC, não a distância ao plano.

Assuntos: geometria espacial, volume do tetraedro, distância ponto-plano.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗