PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Dez números reais formam uma progressão geométrica (PG) com razão q > 1. Removem-se ao acaso cinco desses números. A probabilidade de que os cinco números restantes estejam em PG é

  1. A
    \frac{1}{252}
  2. B
    \frac{1}{126}
  3. C
    \frac{3}{126}
  4. D
    \frac{2}{63}
  5. E
    \frac{3}{63}
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Resolução comentada

Os termos são a, aq, \dots, aq^9, com a\neq0 e q>1. Cinco termos escolhidos, aq^{i_1},\dots,aq^{i_5} com i_1<\dots<i_5, formam uma PG quando a razão entre termos consecutivos é constante, isto é, quando q^{i_{k+1}-i_k} não muda.

Como q>1, a função q^x é injetora. Logo a razão é constante só se as diferenças i_{k+1}-i_k forem todas iguais. Ou seja, os expoentes (índices) precisam estar em progressão aritmética.

Assim, basta contar as PAs de 5 termos dentro de \{1,2,\dots,10\}, com razão d e 4d\le 9:

  1. d=1: o primeiro índice vai de 1 a 6, dando 6 conjuntos.
  2. d=2: o primeiro índice vai de 1 a 2, dando 2 conjuntos (1,3,5,7,9 e 2,4,6,8,10).
  3. d\ge3: 4d\ge12>9, não cabe.

Total de casos favoráveis: 8.

Total de maneiras de ficar com 5 números: \binom{10}{5}=252.

P=\frac{8}{252}=\frac{2}{63}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta apenas 1 caso favorável (8/252 seria o correto), esquecendo as demais PAs de índices.
  • BConta 2 casos favoráveis em 252, considerando só as PAs de razão 2 ou algo parecido.
  • CUsa 3 casos favoráveis sobre 126, sem base na contagem das PAs de índices.
  • ECorresponde a 3/63 = 12/252, contando 12 casos, mais que os 8 existentes.

Assuntos: progressão geométrica, probabilidade, análise combinatória.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗