Questão 4 do IME 2023

Use a tangente da soma: se \operatorname{arctg}(a)+\operatorname{arctg}(b)=\theta, então \tg\theta=\dfrac{a+b}{1-ab}, desde que ab\neq 1. Mas a igualdade só vale se a soma dos arcos estiver em (-\pi/2,\pi/2), o que precisa ser conferido depois.

1. Aplicando a tangente nos dois lados, com a=z e b=z+1:
   

   \dfrac{2z+1}{1-z(z+1)}=\dfrac{4}{3}

2. Multiplicando em cruz: 3(2z+1)=4(1-z-z^2), ou seja, 6z+3=4-4z-4z^2.

3. Arrumando: 4z^2+10z-1=0.

4. Pela fórmula: \Delta=100+16=116, então z=\dfrac{-10\pm 2\sqrt{29}}{8}=\dfrac{-5\pm\sqrt{29}}{4}.

5. Como \sqrt{29}\approx 5{,}39: z_1\approx 0{,}097 e z_2\approx -2{,}6.

Conferência: o lado direito, \operatorname{arctg}(4/3), está entre 0 e \pi/2, então a soma dos arcos deve ser positiva e menor que \pi/2.

• Para z_1\approx 0{,}097: os dois arcos são positivos e pequenos (cerca de 0{,}097 e 0{,}83 rad), soma menor que \pi/2. Serve.
• Para z_2\approx -2{,}6: \operatorname{arctg}(-2{,}6)\approx -1{,}2 e \operatorname{arctg}(-1{,}6)\approx -1{,}01, soma negativa, cerca de -2{,}2 rad. Não pode ser igual a um valor positivo; essa raiz veio de a soma ser -2{,}2+\pi\approx 0{,}93, que tem a mesma tangente. É estranha.

Portanto há uma única solução, positiva.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem resolve a equação do 2º grau e não confere o intervalo da soma dos arcos, mantendo a raiz negativa estranha.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aaceita as duas raízes de 4z^2+10z-1=0 sem verificar que a negativa dá soma de arcos negativa.
• Ba segunda raiz é negativa, não positiva.
• Ca raiz negativa é estranha e a outra raiz é positiva.
• Einverte: a raiz negativa é a descartada, a positiva é a válida.

Assuntos: arco tangente, equação trigonométrica, soluções estranhas.

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