Questão 3 do IME 2023

Question

Considere os conjuntos de números complexos:

A = \{x + iy \text{ tal que } x,y \in \mathbb{R} \text{ e } |x| + |y| \le r\} \quad \text{e}

B = \{x + iy \text{ tal que } x,y \in \mathbb{R} \text{ e } \max \{|x - a|,|y - b|\} \le c\}\ ,

onde r, a, b e c são números reais positivos e \max \{x_1,x_2\} é o maior valor entre os reais x_1 e x_2. O menor valor de r, em função de a, b e c, para que se tenha B \subset A é

A
a + b + c
B
(a + b)\sqrt{2} + c
C
2(a + b) + c
D
a + b + 2c
E
2(a + b + c)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Considere os conjuntos de números complexos:

A = \{x + iy \text{ tal que } x,y \in \mathbb{R} \text{ e } |x| + |y| \le r\} \quad \text{e}

B = \{x + iy \text{ tal que } x,y \in \mathbb{R} \text{ e } \max \{|x - a|,|y - b|\} \le c\}\ ,

onde r, a, b e c são números reais positivos e \max \{x_1,x_2\} é o maior valor entre os reais x_1 e x_2. O menor valor de r, em função de a, b e c, para que se tenha B \subset A é

A
a + b + c
B
(a + b)\sqrt{2} + c
C
2(a + b) + c
D
a + b + 2c
E
2(a + b + c)

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O conjunto A é o losango |x|+|y|\le r, de centro na origem. O conjunto B é o quadrado de centro (a,b) e lado 2c, com lados paralelos aos eixos: |x-a|\le c e |y-b|\le c.

Para B\subset A, todos os pontos do quadrado devem satisfazer |x|+|y|\le r. Como |x|+|y| é uma função convexa, o máximo no quadrado ocorre em um dos vértices. Basta então calcular o maior valor de |x|+|y| nos vértices.

Os vértices são (a\pm c,\ b\pm c).
O vértice mais distante da origem no sentido do primeiro quadrante é (a+c,\ b+c). Como a,b,c>0, as coordenadas são positivas e |x|+|y| = (a+c)+(b+c) = a+b+2c.
Os outros vértices dão valores menores ou iguais. Por exemplo, em (a-c,\ b+c): |a-c|+(b+c)\le (a+c)+(b+c), pois |a-c|\le a+c.

Logo, o maior valor de |x|+|y| em B é a+b+2c. Para que B fique contido em A, é preciso r\ge a+b+2c, e o menor valor possível é

r = a+b+2c.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa a+b+c, esquecendo que tanto x quanto y avançam c no vértice mais distante, somando 2c.
Bmistura a distância euclidiana com a norma da soma |x|+|y|, introduzindo um \sqrt{2} sem sentido.
Cdobra a e b sem motivo, errando os coeficientes.
Edobra todas as parcelas, ignorando que a e b aparecem uma só vez.

Assuntos: números complexos, lugares geométricos, módulo e desigualdades.

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Questão 3 no caderno Prova objetiva do IME 2023

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