PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Seja f(x) uma função definida em \mathbb{R} tal que f(1) = 1. Para todo x \in \mathbb{R} valem as seguintes desigualdades

f(x + 7) \geqslant f(x) + 7 \quad \text{e} \quad f(x + 1) \leqslant f(x) + 1\text{ .}

Se g(x) = f(x - 1) - x + 2, o valor de g(2023) é

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. D
    2022
  5. E
    2023
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Resolução comentada

Primeiro, vamos descobrir o que as duas desigualdades dizem juntas. Defina h(x) = f(x) - x. Então:

  • f(x+1) \leqslant f(x) + 1 equivale a h(x+1) \leqslant h(x), ou seja, h não cresce quando avançamos 1 unidade.
  • f(x+7) \geqslant f(x) + 7 equivale a h(x+7) \geqslant h(x), ou seja, h não decresce quando avançamos 7 unidades.

Aplicando a primeira desigualdade sete vezes seguidas:

h(x+7) \leqslant h(x+6) \leqslant \dots \leqslant h(x+1) \leqslant h(x).

Como h(x+7) \geqslant h(x), tudo isso vira igualdade, e h(x+1) = h(x) para todo x. Logo h é periódica de período 1.

Agora, h(1) = f(1) - 1 = 0, então h(n) = 0 para todo inteiro n.

A função pedida é

g(x) = f(x-1) - x + 2 = f(x-1) - (x-1) + 1 = h(x-1) + 1.

Para x = 2023:

g(2023) = h(2022) + 1 = 0 + 1 = 1.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aesquece o termo +1 e conclui g(2023)=h(2022)=0.
  • Cerra a reescrita de -x+2, somando 2 em vez de 1 após isolar x-1.
  • Dconfunde o valor de g com o argumento 2022 de f, sem usar f(n)=n e o cancelamento.
  • Etoma g(2023) como 2023, sem fazer a subtração de x e a conta com f(2022)=2022.

Assuntos: funções, desigualdades funcionais, periodicidade.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗