PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 do IME 2023

Prova objetiva · Física

Diagrama com eixos horizontal e vertical orientados para a direita e para cima. A partícula 1 está sobre o eixo vertical, acima da origem, e recebe um impulso $\vec{I}$ para a esquerda. A partícula 2 está sobre o eixo horizontal, à esquerda da origem, e a partícula 3 está abaixo desse eixo e à esquerda do eixo vertical. Uma trajetória tracejada formada por três arcos de um quarto de circunferência liga, em sequência, os pontos 1, 2, 3 e um ponto aberto identificado como “final”, acima e à direita de 3. Os raios dos arcos diminuem sucessivamente. Linhas auxiliares tracejadas e marcas de ângulo reto indicam os centros e raios dos arcos. Cruzes na região da trajetória representam o campo magnético $\vec{B}$ dirigido para dentro do plano da página.

Três partículas carregadas, inicialmente em repouso no plano da página, estão posicionadas sobre uma região do espaço submetida a uma densidade de fluxo magnético uniforme \vec{B}, que aponta para dentro do plano da página. No instante t = 0, a partícula localizada no ponto 1 é submetida a um impulso \vec{I} e descreve a trajetória indicada pela linha tracejada na figura, até ocorrer um choque perfeitamente inelástico com a partícula localizada no ponto 2. Pouco depois, outro choque perfeitamente inelástico ocorrerá com a partícula localizada na posição 3.

Dados:

  • massa de cada partícula: m;
  • carga da partícula inicialmente na posição 1: Q;
  • carga da partícula inicialmente na posição 2: 2Q;
  • carga da partícula inicialmente na posição 3: 3Q;
  • módulo da densidade de fluxo magnético: B;
  • intensidade do impulso: I.

Observações:

  • não há efeito gravitacional;
  • o sinal de Q está em conformidade com a geometria da figura;
  • todas as forças de repulsão entre as partículas são desprezíveis;
  • a trajetória tracejada na figura é composta pela união de três arcos de 1/4 de circunferência.

A distância total percorrida pela partícula impulsionada desde a posição 1 até o ponto identificado como final é:

  1. A
    \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{I\pi}{QB}\right)
  2. B
    \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{I\pi}{QB}\right)
  3. C
    \dfrac{7}{8}\left(\dfrac{I\pi}{QB}\right)
  4. D
    \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{I\pi}{QB}\right)
  5. E
    \dfrac{7}{12}\left(\dfrac{I\pi}{QB}\right)
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O impulso dá à partícula 1 a quantidade de movimento I = mv_1, logo v_1 = I/m. Em campo magnético uniforme, o movimento é circular com raio R = \dfrac{mv}{|q|B}, ou seja, R = \dfrac{p}{|q|B}, onde p é a quantidade de movimento.

  1. Arco 1→2 (um quarto de circunferência): R_1 = \dfrac{I}{QB}. Comprimento: s_1 = \dfrac{1}{4}\cdot 2\pi R_1 = \dfrac{\pi}{2}\dfrac{I}{QB}.

  2. Choque inelástico com a partícula 2, que está em repouso. A quantidade de movimento se conserva, e a massa passa a 2m e a carga a Q+2Q = 3Q. Então p = I continua igual, e R_2 = \dfrac{I}{3QB}. Comprimento: s_2 = \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{I}{3QB} = \dfrac{\pi}{6}\dfrac{I}{QB}.

  3. Choque com a partícula 3, também em repouso. A massa passa a 3m e a carga a 3Q+3Q = 6Q. Com p = I, o raio é R_3 = \dfrac{I}{6QB}. Comprimento: s_3 = \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{I}{6QB} = \dfrac{\pi}{12}\dfrac{I}{QB}.

Somando, em unidades de \dfrac{I\pi}{QB}:

\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12} = \frac{6+2+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

Os raios decrescentes (R, R/3, R/6) concordam com a figura.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só o primeiro arco, ignorando os dois arcos após os choques.
  • BUsa só um quarto de \pi I/(QB), erro na fórmula do comprimento do primeiro arco.
  • CSoma incorreta dos arcos, com raios que não seguem R, R/3, R/6.
  • ESoma incorreta dos arcos, com raios que não seguem R, R/3, R/6.

Assuntos: movimento circular em campo magnético, conservação da quantidade de movimento, colisão inelástica.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗