PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 do IME 2023

Prova objetiva · Física

Aparato com barra de aço presa ao teto, encostada em gangorra em formato de L com pino fixo e mola conectada à parede

A figura acima mostra um aparato com uma barra de aço vertical, tendo sua extremidade superior presa ao teto e sua extremidade inferior encostada na ponta de uma gangorra em forma de “L”. Por sua vez, a gangorra também encosta em um apoio elástico, que é preso na parede indicada. Após a montagem do aparato, a barra de aço é aquecida por igual.

Dados:

• aceleração da gravidade: g;
• massa da barra de aço: m;
• comprimento da barra de aço: c;
• coeficiente de dilatação linear da barra de aço: \alpha;
• coeficiente elástico do apoio: k;
• comprimento horizontal da gangorra: 2L;
• comprimento vertical da gangorra: L;
• variação de temperatura após o aquecimento: T.

Observações:

• a deformação da barra de aço após a dilatação é muito menor que L;
• o pino indicado na figura mantém-se fixo;
• antes do aquecimento, o apoio elástico está encostado na gangorra e sem energia potencial armazenada.

Ao final do processo de aquecimento, o trabalho realizado pela força peso da barra de aço e a energia potencial armazenada no apoio elástico são, respectivamente:

  1. A
    mg\alpha cT e k(\alpha cT)^2/8
  2. B
    mg\alpha cT/2 e k(\alpha cT)^2/8
  3. C
    mg\alpha cT e k(\alpha TL)^2/16
  4. D
    mg\alpha cT/2 e k(\alpha TL)^2/16
  5. E
    mg\alpha cT e k(\alpha TL)^2/8
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Resolução comentada

A barra está presa no teto e dilata para baixo. Sua variação de comprimento é \Delta c=\alpha c T.

Trabalho do peso: o centro de massa da barra desce exatamente \Delta c, pois a extremidade de cima é fixa e a de baixo desce \Delta c. Isso vale para a barra inteira, porque a extremidade inferior empurra a gangorra. Logo, a barra desce junto com a ponta da gangorra? Não: o centro de massa desce só \Delta c/2, já que a parte superior está fixa no teto e cada ponto desce proporcionalmente à sua distância ao teto. Assim:

W_P=mg\,\frac{\alpha c T}{2}

Energia elástica: a ponta horizontal da gangorra desce \Delta c. A gangorra gira em torno do pino, em ângulo pequeno \theta, com:

\theta=\frac{\Delta c}{2L}

A ponta vertical, a distância L do pino, desloca-se horizontalmente:

x=\theta L=\frac{\Delta c}{2}=\frac{\alpha c T}{2}

A mola fica comprimida de x (a ponta desce, o braço vertical gira em direção à parede). Então:

E_{el}=\frac{k x^2}{2}=\frac{k}{2}\cdot\frac{(\alpha c T)^2}{4}=\frac{k(\alpha c T)^2}{8}

O resultado é mg\alpha cT/2 e k(\alpha cT)^2/8.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem toma o deslocamento do centro de massa como a dilatação inteira, em vez de metade.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa o trabalho do peso como mg\Delta c, esquecendo que o centro de massa desce só metade da dilatação.
  • Ctrabalho do peso errado e energia elástica com L no lugar de c, que não é a dilatação.
  • Dtrabalho do peso correto, mas a energia elástica usa \alpha T L, confundindo a dilatação com L.
  • Etrabalho do peso errado e energia elástica com \alpha T L em vez de \alpha c T.

Assuntos: dilatação linear, energia potencial elástica, trabalho da força peso.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗