PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 do IME 2023

Prova objetiva · Física

Pêndulo com uma fonte sonora circular suspensa por um fio de comprimento $L$, inclinado para a direita e formando um ângulo $\theta$ com a vertical tracejada. A fonte está identificada por “fonte”, e uma seta vertical para baixo indica a aceleração da gravidade $\vec{g}$.

Uma fonte sonora está pendurada por um fio ideal, conforme ilustrado na figura, realizando um movimento pendular.

Dados:

  • frequência da fonte sonora: f;
  • comprimento do fio do pêndulo: L;
  • aceleração da gravidade: g;
  • velocidade do som: v.

Se \theta_{\mathrm{max}} é o ângulo máximo atingido pelo fio que sustenta a fonte com relação à vertical, a frequência máxima do som ouvido por um observador localizado a uma distância ínfima do ponto mais baixo da trajetória da fonte é:

  1. A
    \dfrac{fv}{v-\sqrt{2gL[1-\sen(\theta_{max})]}}
  2. B
    \dfrac{fv}{v-\sqrt{2gL[1-\cos(\theta_{max})]}}
  3. C
    \dfrac{f}{v}\left\{v-\sqrt{2gL[1-\sen(\theta_{max})]}\right\}
  4. D
    \dfrac{f}{v}\left\{v-\sqrt{2gL[1-\cos(\theta_{max})]}\right\}
  5. E
    \dfrac{fv}{v-\sqrt{2gL\cos(\theta_{max})}}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Há dois conceitos aqui: conservação da energia mecânica no pêndulo e efeito Doppler.

1. Velocidade da fonte no ponto mais baixo. Soltando-se a fonte do ângulo máximo \theta_{max}, ela desce uma altura

h = L - L\cos\theta_{max} = L[1-\cos\theta_{max}]

Pela conservação da energia, mgh = \frac{mV^2}{2}, então

V=\sqrt{2gL[1-\cos\theta_{max}]}

2. Efeito Doppler. O observador está parado, quase no ponto mais baixo. Ali a velocidade da fonte é máxima e horizontal, perpendicular ao fio, e é nesse ponto que ela tem componente de velocidade na direção do observador. Quando a fonte se aproxima do observador, a frequência percebida é a maior possível:

f' = f\,\frac{v}{v-V}

Como o observador está a uma distância ínfima do ponto mais baixo, a direção fonte–observador coincide com a da velocidade da fonte. Por isso toda a velocidade V entra na fórmula.

3. Substituindo V:

f'_{max}=\frac{fv}{v-\sqrt{2gL[1-\cos\theta_{max}]}}

Essa expressão não aparece nas alternativas com \cos e denominador v-V, exceto se o ângulo for medido como no enunciado. Conferindo: a (B) tem \cos e o denominador correto, mas a (A) usa \sen. Logo, a que bate com a dedução é a (B).

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana por ter a forma correta do Doppler, mas troca cosseno por seno na altura de queda.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa seno do ângulo máximo na altura de queda, mas a altura é L(1-\cos\theta_{max}).
  • Cmultiplica f por (v−V)/v, que seria a frequência de uma fonte se afastando, e ainda usa seno.
  • Dusa o fator (v−V)/v, de afastamento, dando frequência menor que f.
  • Eusa 2gL\cos\theta_{max} como se fosse a energia, esquecendo a altura L(1-\cos\theta_{max}).

Assuntos: efeito Doppler, pêndulo, conservação da energia.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗