Questão 1 do IME 2023

Para isolar \mathbf{X}^T, multiplicamos os dois lados da equação, pela direita, por \mathbf{A}:

1. Calculamos o produto:
   

   \mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}3\cdot2+6\cdot1 & 3\cdot3+6\cdot5\\ 2\cdot2+1\cdot1 & 2\cdot3+1\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&39\\5&11\end{pmatrix}

2. Transpondo, obtemos \mathbf{X}:
   

   \mathbf{X}=\begin{pmatrix}12&5\\39&11\end{pmatrix}

3. O determinante é \det\mathbf{X}=12\cdot11-5\cdot39=132-195=-63.

4. Para uma matriz 2\times2, a inversa é \frac{1}{\det} vezes a matriz com a diagonal principal trocada de lugar e os sinais da diagonal secundária invertidos:
   

   \mathbf{X}^{-1}=\frac{1}{-63}\begin{pmatrix}11&-5\\-39&12\end{pmatrix}=-\frac{1}{63}\begin{pmatrix}11&-5\\-39&12\end{pmatrix}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa o fator -\frac{1}{7} em vez de -\frac{1}{63} e uma matriz que não é a adjunta de \mathbf{X}.
• CUsa a matriz \mathbf{X}^T sem trocar a diagonal principal nem os sinais, com os números de \mathbf{X}^T mal posicionados.
• DTroca de forma errada os sinais da adjunta, deixando a matriz com a diagonal principal -12 e -11.
• EEsquece de inverter o sinal de um dos elementos de fora da diagonal (39) e coloca os elementos em posição errada.

Assuntos: matrizes, matriz inversa, matriz transposta.