PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 do IME 2023

Prova objetiva · Física

Um físico pilotando uma espaçonave foi multado por avanço de um semáforo de trânsito interestelar. Em sua defesa, alegou que via luz verde ao avançar o semáforo. Além de ter sua defesa indeferida, o físico ainda recebeu outra multa por excesso de velocidade.

Dados:

  • velocidade da luz no vácuo: c;
  • comprimento de onda da cor verde (“siga"): \lambda_g;
  • comprimento de onda da cor vermelho (“pare"): \lambda_r.

A velocidade mínima da espaçonave era:

  1. A
    \frac{1 - \left(\frac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)}{1 + \left(\frac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)} c
  2. B
    \frac{1 - \left(\frac{\lambda_r}{\lambda_g}\right)}{1 + \left(\frac{\lambda_r}{\lambda_g}\right)} c
  3. C
    \frac{1 - \left(\frac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)^2}{1 + \left(\frac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)^2} c
  4. D
    \frac{1 - \left(\frac{\lambda_r}{\lambda_g}\right)^2}{1 + \left(\frac{\lambda_r}{\lambda_g}\right)^2} c
  5. E
    \frac{1 + \left(\frac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)}{1 - \left(\frac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)} c
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O físico se aproxima do semáforo, então a luz que ele recebe sofre efeito Doppler relativístico: o comprimento de onda observado diminui (desvio para o azul). O semáforo emite luz vermelha, de comprimento de onda \lambda_r, mas o físico a vê verde, com \lambda_g.

Para aproximação, a fórmula do Doppler relativístico é:

\lambda_{obs}=\lambda_{emit}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}},\quad \beta=\frac{v}{c}

Como a luz vista é verde e a emitida é vermelha:

  1. \lambda_g=\lambda_r\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}
  2. Elevando ao quadrado: \left(\dfrac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)^2=\dfrac{1-\beta}{1+\beta}
  3. Chamando k=\left(\dfrac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)^2: k(1+\beta)=1-\beta, logo \beta(1+k)=1-k.
  4. Assim: \beta=\dfrac{1-k}{1+k}.

Portanto:

v=\frac{1-\left(\frac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)^2}{1+\left(\frac{\lambda_g}{\lambda_r}\right)^2}\,c

Essa é a velocidade mínima: com velocidade menor, a luz vermelha não chegaria ao verde. Ele estava, de fato, em alta velocidade.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa a razão \lambda_g/\lambda_r sem elevar ao quadrado, esquecendo que o fator Doppler é uma raiz quadrada.
  • Binverte a razão e não eleva ao quadrado, o que daria velocidade negativa.
  • Dinverte a razão: \lambda_r/\lambda_g>1 daria velocidade negativa.
  • Etem sinais trocados e não eleva ao quadrado, resultando em valor maior que c.

Assuntos: efeito Doppler relativístico, física moderna.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗