PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Um número natural é palíndromo quando é o mesmo lido da esquerda para a direita e vice-versa. Seja n um número natural palíndromo tal que 1000 \le n \le 9999. Se n é um cubo perfeito, então a soma dos algarismos de n é

  1. A
    8
  2. B
    10
  3. C
    12
  4. D
    14
  5. E
    16
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Resolução comentada

Um número de quatro algarismos é palíndromo quando tem a forma abba. Para 1000 \le n \le 9999 e n cubo perfeito, basta listar os cubos nesse intervalo.

Como 10^3 = 1000 e 22^3 = 10648, que passa de 9999, a base k do cubo vai de 10 a 21.

Calculando cada cubo:

  1. 10^3 = 1000
  2. 11^3 = 1331
  3. 12^3 = 1728
  4. 13^3 = 2197
  5. 14^3 = 2744
  6. 15^3 = 3375
  7. 16^3 = 4096
  8. 17^3 = 4913
  9. 18^3 = 5832
  10. 19^3 = 6859
  11. 20^3 = 8000
  12. 21^3 = 9261

Dessa lista, o único que lido de trás para frente continua igual é 1331. Os outros não servem: por exemplo, 1000 invertido dá 0001, e 9261 dá 1629.

A soma dos algarismos de 1331 é 1+3+3+1 = 8.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde à soma dos algarismos de 1331; seria o resultado de um cubo ou palíndromo errado.
  • CNão corresponde à soma dos algarismos de 1331; vem de escolher um cubo que não é palíndromo.
  • DNão corresponde à soma dos algarismos de 1331; vem de um cubo que não é palíndromo.
  • ENão corresponde à soma dos algarismos de 1331; seria a soma de algum cubo não palíndromo, como 4096 ou 6859.

Assuntos: cubos perfeitos, números palíndromos.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗