Questão 14 do IME 2023

Uma equação do 2º grau em x e y representa um par de retas quando a cônica é degenerada, isto é, quando o determinante da matriz associada é zero.

Os coeficientes são A=2, B=c, C=6, D=-3, E=-4, F=-2. A matriz é:

Calculando o determinante pela primeira linha:

1. 2\,(6\cdot(-2)-4)=2(-16)=-32
2. -\dfrac{c}{2}\left(-c-3\right)=\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{3c}{2}
3. -\dfrac{3}{2}\left(-c+9\right)=\dfrac{3c}{2}-\dfrac{27}{2}

Somando: \dfrac{c^2}{2}+3c-\dfrac{91}{2}=0, ou seja, c^2+6c-91=0.

As raízes são c=\dfrac{-6\pm20}{2}, logo c=7 ou c=-13. O valor positivo é c=7.

Conferindo se as retas são concorrentes e não paralelas: c^2-4AC=49-48=1>0, então o tipo é hiperbólico, o que dá retas concorrentes.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão satisfaz c^2+6c-91=0; erro de cálculo no determinante.
• CNão é raiz de c^2+6c-91=0 (64+48-91\neq0).
• DNão é raiz da equação do determinante (81+54-91\neq0).
• ENão é raiz da equação do determinante (100+60-91\neq0).

Assuntos: cônicas degeneradas, determinante, par de retas.

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