PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Seja a equação

\frac{144^x + 324^x}{64^x + 729^x} = \frac{6}{7}.

A soma dos módulos das soluções reais desta equação é

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    8
  5. E
    9
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Resolução comentada

Fatore as bases: 144=2^4\cdot 3^2, 324=2^2\cdot 3^4, 64=2^6 e 729=3^6.

Faça a=2^{2x} e b=3^{2x}. Então:

  • 144^x=a^2b
  • 324^x=ab^2
  • 64^x=a^3
  • 729^x=b^3

A equação fica

\frac{a^2b+ab^2}{a^3+b^3}=\frac{ab(a+b)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{ab}{a^2-ab+b^2}=\frac{6}{7}.

O fator a+b cancela porque é positivo. Multiplicando em cruz:

7ab=6a^2-6ab+6b^2 \Rightarrow 6a^2-13ab+6b^2=0.

Dividindo por b^2 e chamando t=\dfrac{a}{b}:

6t^2-13t+6=0 \Rightarrow t=\frac{13\pm5}{12} \Rightarrow t=\frac{3}{2}\ \text{ou}\ t=\frac{2}{3}.

Como t=\dfrac{2^{2x}}{3^{2x}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x}:

  • \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x}=\dfrac{3}{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} dá 2x=-1, ou seja, x=-\dfrac{1}{2}.
  • \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x}=\dfrac{2}{3} dá 2x=1, ou seja, x=\dfrac{1}{2}.

A soma dos módulos é \dfrac12+\dfrac12=1.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResulta de tomar as soluções como x=\pm1, esquecendo que 2x=\pm1 e que o expoente é 2x, não x.
  • CNão corresponde a nenhuma raiz da equação; não decorre da resolução correta.
  • DNão corresponde a nenhuma raiz da equação; não decorre da resolução correta.
  • ENão corresponde a nenhuma raiz da equação; não decorre da resolução correta.

Assuntos: equação exponencial, fatoração, equação do segundo grau.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗