PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Um triângulo ABC possui incentro I e ex-incentro G relativo ao lado \overline{BC}. Se B\widehat{I}C + A\widehat{G}C = 155^\circ, então o ângulo A\widehat{C}B é

  1. A
    30^\circ
  2. B
    45^\circ
  3. C
    50^\circ
  4. D
    60^\circ
  5. E
    90^\circ
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Resolução comentada

Chame os ângulos do triângulo de A, B e C (em C está o ângulo A\widehat{C}B pedido).

Incentro. I é o encontro das bissetrizes internas, então em BIC os ângulos em B e C valem B/2 e C/2:

B\widehat{I}C = 180^\circ - \frac{B+C}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}.

Ex-incentro. G (relativo a BC) está na bissetriz interna de A e nas bissetrizes externas de B e C. Assim A, I e G são colineares, e CG é bissetriz externa de C.

No triângulo AGC:

  • em A: ângulo A/2;
  • em C: A\widehat{C}G = C + \dfrac{180^\circ - C}{2} = 90^\circ + \dfrac{C}{2} (ângulo C mais metade do externo).

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A\widehat{G}C = 180^\circ - \frac{A}{2} - 90^\circ - \frac{C}{2} = 90^\circ - \frac{A+C}{2} = \frac{B}{2}.

Soma dada.

90^\circ + \frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 155^\circ \Rightarrow \frac{A+B}{2} = 65^\circ \Rightarrow A+B = 130^\circ.

Como A+B+C = 180^\circ:

C = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão decorre da soma A+B=130^\circ; valor sem base no cálculo.
  • BResulta de usar relações incorretas para A\widehat{G}C ou erro de conta.
  • DValor sem base; ocorre ao confundir A\widehat{G}C com outro ângulo do triângulo.
  • ESó valeria se B\widehat{I}C fosse 135° ou algo similar; não satisfaz a soma 155°.

Assuntos: incentro e ex-incentro, ângulos em triângulos, bissetrizes.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗