PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do IME 2023

Prova objetiva · Matemática

Um aluno distraído desmontou um relógio. Ao remontá-lo, trocou a posição dos ponteiros das horas e dos minutos, de modo que o ponteiro das horas passou a girar com a velocidade do ponteiro dos minutos, e vice-versa. Sabendo que o relógio foi acertado para as 4 horas, o intervalo que contém o horário t que marcará a hora certa novamente pela primeira vez é

  1. A
    4\text{h}30\text{min} \leqslant t < 5\text{h}
  2. B
    5\text{h} \leqslant t < 5\text{h}30\text{min}
  3. C
    5\text{h}30\text{min} \leqslant t < 6\text{h}
  4. D
    6\text{h} \leqslant t < 6\text{h}30\text{min}
  5. E
    6\text{h}30\text{min} \leqslant t < 7\text{h}10\text{min}
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Resolução comentada

Seja t o tempo, em horas, contado a partir das 4h. Medimos os ângulos dos ponteiros a partir do 12.

No relógio remontado, o ponteiro das horas gira a 360^\circ/\text{h} e o dos minutos gira a 30^\circ/\text{h}. Às 4h, o ponteiro das horas está em 120^\circ e o dos minutos em 0^\circ.

Os dois relógios mostram a mesma hora quando as posições dos ponteiros coincidem (a menos de voltas completas):

  1. Ponteiro das horas: o relógio defeituoso está em 120+360t; o relógio certo está em 120+30t.
  2. Ponteiro dos minutos: o relógio defeituoso está em 30t; o relógio certo está em 360t.

Nos dois casos a condição é a mesma:

330t = 360k \Rightarrow t=\frac{12k}{11},\ k\in\mathbb{Z}.

A primeira vez depois das 4h é com k=1:

t=\frac{12}{11}\ \text{h}\approx 1\text{h}05\text{min}27\text{s}.

O horário marcado é 4\text{h}+1\text{h}05\text{min}27\text{s}\approx 5\text{h}05\text{min}.

Esse horário está entre 5h e 5h30min.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO horário encontrado é depois das 5h; esse intervalo termina antes de 5h.
  • CNão corresponde a nenhum encontro: o primeiro acerto é por volta de 5h05min, não depois de 5h30min.
  • DSeria um acerto tardio demais; o primeiro encontro ocorre após cerca de 1h05min, não 2h.
  • EIgnora que a coincidência se repete a cada 12/11 h; o primeiro acerto vem bem antes.

Assuntos: movimento circular uniforme, relógio e ponteiros, congruência de ângulos.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗