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Questão 27 do IME 2022

Prova objetiva · Física

Dois gráficos de velocidade $v$ [m/s] em função do tempo $t$ [s], com o eixo horizontal marcado de 0 a 5 e o vertical de −3 a 3. À esquerda, “Figura 1 velocidade do objeto de massa $m_1$”: reta crescente que parte de $v=-1$ em $t=0$ e passa por $v=0$ em $t=1$, com continuação tracejada. À direita, “Figura 2 velocidade do objeto de massa $m_2$”: reta decrescente que parte de $v=3$ em $t=0$ e passa por $v=0$ em $t=1$, com continuação tracejada até próximo de $v=-3$ em $t=2$.

Em um experimento, dois objetos de massas m_1 e m_2 partem, respectivamente, das posições 0 e 30 m do mesmo eixo horizontal. Suas velocidades são programadas de acordo com os gráficos lineares mostrados nas Figuras 1 e 2, até que, na iminência de colisão perfeitamente inelástica entre elas, o sistema de controle das velocidades é desativado, mantendo-se a inércia de seus movimentos.

A razão m_2/m_1 para que, após a colisão, os objetos retornem unidos à posição 0 e com velocidade constante de módulo 2 é:

  1. A
    1/7
  2. B
    1/5
  3. C
    1/3
  4. D
    3/7
  5. E
    3/5
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Resolução comentada

Primeiro, extraímos as acelerações dos gráficos.

Objeto 1: v_1 = -1 + t, ou seja, a_1 = 1\ \text{m/s}^2 e v_{01}=-1\ \text{m/s}.

Objeto 2: v_2 = 3 - 3t, ou seja, a_2=-3\ \text{m/s}^2 e v_{02}=3\ \text{m/s}.

Posições (MUV), com x_1(0)=0 e x_2(0)=30:

x_1 = -t + \tfrac{t^2}{2},\qquad x_2 = 30 + 3t - \tfrac{3t^2}{2}

Na colisão, x_1=x_2:

-t+\tfrac{t^2}{2} = 30+3t-\tfrac{3t^2}{2} \Rightarrow 2t^2-4t-30=0 \Rightarrow t^2-2t-15=0

As raízes são t=5 s e t=-3 s, então a colisão ocorre em t=5 s.

Velocidades nesse instante:

v_1 = -1+5 = 4\ \text{m/s} e v_2 = 3-15=-12\ \text{m/s}.

Posição da colisão: x_1 = -5+12{,}5 = 7{,}5 m (confere com x_2 = 30+15-37{,}5=7{,}5 m).

Depois do choque, os objetos voltam unidos para a posição 0, ou seja, para o sentido negativo, com velocidade de módulo 2: v'=-2\ \text{m/s}.

Conservação da quantidade de movimento:

m_1(4)+m_2(-12)=(m_1+m_2)(-2)
4m_1-12m_2=-2m_1-2m_2 \Rightarrow 6m_1=10m_2
\frac{m_2}{m_1}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de erro nas velocidades no instante da colisão, por exemplo usar outro tempo de encontro.
  • BNão decorre da conservação do momento com v_1=4, v_2=-12 e v'=-2.
  • CVem de inverter ou errar o sinal de alguma velocidade na conservação do momento.
  • DTambém não satisfaz 6m_1=10m_2; é erro de conta ao isolar a razão.

Assuntos: colisão inelástica, movimento uniformemente variado, gráfico v x t.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗