PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 do IME 2022

Prova objetiva · Física

Esquema de um balão de ar submerso na água, ligado por um cabo vertical a um objeto apoiado no fundo do mar. Uma linha horizontal representa a superfície da água, com “ar” acima e “água” abaixo. O centro do balão está a 10 m de profundidade. O balão circular contém o rótulo “ar” e está identificado como “balão”; o cabo está identificado como “cabo”, e o objeto, representado por um quadrado cinza sobre apoios no fundo, como “objeto”.

Um objeto de formato cúbico, com aresta de comprimento L e de massa específica \mu_{obj}, encontra-se apoiado no fundo do mar, devendo ser içado por meio de um balão de borracha de massa m_b, que apresenta volume interno V de ar ajustável. A figura ilustra a situação descrita, com o centro do balão posicionado a 10 m de profundidade. O volume V do balão, em \text{m}^3, relaciona-se com a diferença de pressão \Delta p, em atm, entre a pressão interna e a externa do balão pela seguinte equação:

\Delta p = 1{,}4V^2 - 1{,}2V + 1{,}8

para 1 \leq V \leq 3.

Dados:

  • massa do balão: m_b = 50\ \text{kg};
  • massa do cabo: m_c = 100\ \text{kg};
  • comprimento da aresta do objeto cúbico: L = 1\ \text{m};
  • aceleração da gravidade: g = 10\ \text{m/s}^2;
  • massa específica do objeto: \mu_{obj} = 2850\ \text{kg/m}^3;
  • massa específica da água: \mu_{agua} = 1000\ \text{kg/m}^3; e
  • 1\ \text{atm} = 10^5\ \text{Pa}.

Observações:

  • o ar acima da superfície da água encontra-se a 1 atm de pressão;
  • desconsidere o volume do cabo e a massa do ar internamente ao balão; e
  • para efeito do cálculo da pressão hidrostática sobre o balão, considere que todo o volume V esteja posicionado na mesma profundidade de seu centro.

A pressão interna mínima do balão, em atm, a partir da qual será iniciado o movimento do objeto é:

  1. A
    3{,}0
  2. B
    4{,}2
  3. C
    5{,}5
  4. D
    7{,}0
  5. E
    8{,}5
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Resolução comentada

O objeto começa a subir quando o empuxo sobre o balão supera o peso do conjunto, descontado o empuxo que a água já exerce sobre o objeto e o cabo (o volume do cabo é desprezado).

Forças no conjunto (balão + cabo + objeto), na iminência do movimento:

  • Peso do objeto: m_{obj} = 2850 \cdot 1 = 2850\ \text{kg}, logo P_{obj}=28500\ \text{N}.
  • Empuxo no objeto: E_{obj} = 1000\cdot 10\cdot 1 = 10000\ \text{N}.
  • Peso do balão e do cabo: (50+100)\cdot 10 = 1500\ \text{N}.
  • Empuxo no balão: E_b = 1000\cdot 10\cdot V = 10^4 V\ \text{N}.

Equilíbrio limite:

10^4 V + 10000 = 28500 + 1500
10^4 V = 20000 \Rightarrow V = 2\ \text{m}^3

Diferença de pressão para V=2:

\Delta p = 1{,}4\cdot 4 - 1{,}2\cdot 2 + 1{,}8 = 5{,}6 - 2{,}4 + 1{,}8 = 5\ \text{atm}

Pressão externa a 10 m: p_{ext} = 1 + \dfrac{1000\cdot 10\cdot 10}{10^5} = 1 + 1 = 2\ \text{atm}.

Pressão interna:

p_{int} = p_{ext} + \Delta p = 2 + 5 = 7\ \text{atm}

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A (3,0) engana quem esquece a pressão externa (2 atm) e pega só o Δp ou erra a soma; também engana quem esquece o empuxo sobre o objeto, obtendo V maior.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão chega a 7: parece usar só a pressão externa de 2 atm somada a algo incompleto, ou desconsidera a pressão atmosférica.
  • BResulta de erro no volume ou no equilíbrio de forças, não corresponde a V = 2 m³.
  • CValor sem correspondência com o volume correto; vem de erro no balanço das forças.
  • ECorresponde a um volume maior que o necessário, por ignorar o empuxo sobre o objeto ou o peso do cabo.

Assuntos: empuxo, pressão hidrostática.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗