Questão 22 do IME 2022

Question

Rampa curva com altura h e transição para superfície horizontal com atrito a partir de x = 0

Um bloco cúbico homogêneo de aresta L parte do repouso em uma rampa de altura h. O bloco desliza sem atrito até que seu vértice P alcance a coordenada x = 0 em uma superfície plana. Sabendo que o coeficiente de atrito cinético é \mu para x \ge 0, a coordenada x_P do vértice P em que o bloco estaciona, considerando que x_P \ge L, é :

A
\frac{h}{\mu} + \frac{L}{2}
B
\frac{h}{\mu} - \frac{L}{2}
C
\sqrt{\frac{hL}{\mu}} + \frac{L}{2}
D
\sqrt{\frac{2hL}{\mu}}
E
\frac{h}{\mu}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 do IME 2022

Prova objetiva · Física

Rampa curva com altura h e transição para superfície horizontal com atrito a partir de x = 0

Um bloco cúbico homogêneo de aresta L parte do repouso em uma rampa de altura h. O bloco desliza sem atrito até que seu vértice P alcance a coordenada x = 0 em uma superfície plana. Sabendo que o coeficiente de atrito cinético é \mu para x \ge 0, a coordenada x_P do vértice P em que o bloco estaciona, considerando que x_P \ge L, é :

A
\frac{h}{\mu} + \frac{L}{2}
B
\frac{h}{\mu} - \frac{L}{2}
C
\sqrt{\frac{hL}{\mu}} + \frac{L}{2}
D
\sqrt{\frac{2hL}{\mu}}
E
\frac{h}{\mu}

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Resolução comentada

O bloco desliza sem atrito até o vértice P chegar a x=0. Nesse instante, o bloco está todo na região sem atrito, e a partir daí ele entra gradualmente na região rugosa.

Primeiro, a velocidade. Na rampa, o centro de massa desce de h (altura medida no bloco, na figura, o topo do bloco está em h, e o centro de massa acompanha a mesma descida). Então a energia cinética ao chegar na parte plana é \frac{1}{2}mv^2 = mgh.

Segundo, o atrito. Para x_P \ge L, o bloco está parcialmente sobre a região rugosa enquanto x_P<L. A parte da base em contato com a região rugosa é proporcional a x_P, então a normal total é mg (distribuída), mas só a fração x_P/L da base está sobre a região com atrito. A força de atrito cresce linearmente:

f = \mu mg\,\frac{x_P}{L}, \quad 0\le x_P\le L

Trabalho do atrito nessa fase (de 0 a L):

W_1 = \mu mg\,\frac{L}{2}

Depois, com todo o bloco sobre a região rugosa, o atrito vale \mu mg e atua por uma distância d = x_P - L:

W_2 = \mu mg\,(x_P - L)

Teorema trabalho-energia: o trabalho total do atrito é igual à energia inicial.

mgh = \mu mg\,\frac{L}{2} + \mu mg\,(x_P - L)

\frac{h}{\mu} = x_P - \frac{L}{2}

x_P = \frac{h}{\mu} + \frac{L}{2}

A condição x_P\ge L é a que justifica usar as duas fases.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem aplica atrito total \mu mg desde x=0 e esquece que o bloco entra aos poucos na região rugosa, o que gera o termo L/2.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bsubtrai L/2 em vez de somar, errando o sinal ao isolar x_P na equação de energia.
Cresultado de raiz que não surge de nenhuma etapa do balanço de energia com atrito.
Dexpressão com raiz, incompatível com o trabalho de atrito linear em x.
Eignora o atrito parcial na entrada, tratando o atrito como constante desde x=0 e esquecendo o termo L/2.

Assuntos: trabalho e energia, atrito cinético.

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Questão 22 no caderno Prova objetiva do IME 2022

Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗