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Questão 19 do IME 2022

Prova objetiva · Física

Diagrama de um prisma com seção de triângulo retângulo, de ângulo agudo superior α, imerso em meio de índice de refração n₀. Um raio de luz branca incide na face vertical formando ângulo θ₀ com a normal horizontal. No interior do prisma, de índice n, a luz sofre dispersão e emerge pela face inclinada em um feixe de luz dispersada com abertura angular Δθ.

Um prisma possui um ângulo agudo \alpha e índice de refração variável de acordo com a expressão:

n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2}

em que A e B são constantes e \lambda é o comprimento de onda.

Uma luz branca vinda do ar (n_0 = 1) incide sobre a face vertical do prisma e sofre dispersão cromática no seu interior, voltando para o ar ao sair do prisma. Tal luz, possui componentes espectrais no intervalo: \lambda_1 \le \lambda \le \lambda_2.

Consideração:
• os ângulos \theta_0 e \alpha são tão pequenos que a aproximação sen(x) \cong x é válida, para x = \theta_0 ou x = \alpha.

Diante do exposto, a maior abertura angular \Delta\theta entre as componentes espectrais é aproximadamente:

  1. A
    \frac{\alpha A(\lambda_2^2 - \lambda_1^2)}{\lambda_1 \lambda_2}
  2. B
    \frac{\theta_0 A(\lambda_2^2 - \lambda_1^2)}{\lambda_1 \lambda_2}
  3. C
    \frac{\alpha B(\lambda_2^2 + \lambda_1^2)}{(\lambda_1 \lambda_2)^2}
  4. D
    \frac{\theta_0 B(\lambda_2^2 - \lambda_1^2)}{(\lambda_1 \lambda_2)^2}
  5. E
    \frac{\alpha B(\lambda_2^2 - \lambda_1^2)}{(\lambda_1 \lambda_2)^2}
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Resolução comentada

Cada cor sofre duas refrações: uma na face vertical e outra na face inclinada. Como os ângulos são pequenos, usamos \text{sen}\,x \cong x.

  1. Na face vertical, a normal é horizontal. Pela lei de Snell: n_0\theta_0 = n\,\theta_r, ou seja, \theta_r = \theta_0/n (com n_0=1).

  2. A face inclinada forma o ângulo \alpha com a vertical. Sua normal forma \alpha com a horizontal. Pela geometria do prisma, o ângulo de incidência nessa face é \alpha menos (ou mais) \theta_r, conforme o sentido do raio. Pela figura, o raio refratado sobe, então o ângulo de incidência é \alpha+\theta_r.

  3. Snell na saída: n(\alpha+\theta_r)=\text{sen}\,\theta_s\cong\theta_s. Logo \theta_s = n\alpha + \theta_0, pois n\theta_r=\theta_0.

  4. O ângulo de saída, medido em relação à normal, vale \theta_s=n\alpha+\theta_0. A direção em relação à horizontal é \theta_s-\alpha (a normal está inclinada de \alpha), então só a parcela n\alpha depende da cor. A abertura entre duas cores é:

\Delta\theta=\alpha\,(n_{max}-n_{min})
  1. O índice é maior para o menor comprimento de onda:
n_{max}-n_{min}=B\left(\frac{1}{\lambda_1^2}-\frac{1}{\lambda_2^2}\right)=\frac{B(\lambda_2^2-\lambda_1^2)}{(\lambda_1\lambda_2)^2}
  1. Portanto:
\Delta\theta=\frac{\alpha B(\lambda_2^2-\lambda_1^2)}{(\lambda_1\lambda_2)^2}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa a constante A, que não varia com a cor e se cancela na diferença de índices.
  • Busa A e θ₀; a dispersão depende de B e de α.
  • Csoma os quadrados em vez de subtrair, o que não corresponde a n_max − n_min.
  • Dusa θ₀, mas θ₀ se cancela na diferença entre as cores (nθ_r = θ₀).

Assuntos: dispersão em prisma, refração, lei de Snell.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗