PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 do IME 2022

Prova objetiva · Física

Uma fonte sonora A, que emite um som de frequência constante, e um observador B estão próximos um do outro e movem-se lentamente de acordo com as equações temporais no Plano XY mostradas abaixo:

X_A = \cos(t) + \log(1 + t)
Y_A = 2t + 3
X_B = \log(1 + t) - \sen(t)
Y_B = 2t - 1

Considerando que a fonte sonora emita um som de frequência constante, a frequência percebida pelo observador, dentre as opções, é desprovida de efeito Doppler quando o instante t for:

  1. A
    0
  2. B
    \pi/6
  3. C
    \pi/2
  4. D
    3\pi/4
  5. E
    \pi
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Resolução comentada

O efeito Doppler depende da componente da velocidade relativa ao longo da reta que liga a fonte ao observador. Não há efeito quando a distância entre A e B não varia naquele instante, ou seja, quando a velocidade relativa é perpendicular ao vetor posição relativa.

Vetor posição relativa de A em relação a B:

\vec r = (X_A-X_B,\ Y_A-Y_B) = (\cos t+\sen t,\ 4)

Velocidade relativa (derivada de \vec r):

\vec v = (-\sen t+\cos t,\ 0)

Os termos \log(1+t) se cancelam, e as componentes y têm a mesma derivada (2), então só sobra a componente em x.

Condição: \vec r\cdot\vec v=0:

  1. (\cos t+\sen t)(\cos t-\sen t)+4\cdot 0=0
  2. \cos^2 t-\sen^2 t=0, isto é, \cos 2t=0
  3. 2t=\pi/2+k\pi, logo t=\pi/4+k\pi/2

Valores possíveis: \pi/4,\ 3\pi/4,\ 5\pi/4,\dots

Entre as opções, só 3\pi/4 serve. Conferindo: \cos 2t=\cos(3\pi/2)=0.

Outra possibilidade seria \vec v=0, mas isso exigiria \cos t=\sen t, o que também dá t=\pi/4+k\pi e não muda o resultado.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEm t=0, \cos 2t=1\neq0: a velocidade relativa é (1,0) e a distância está variando.
  • BEm t=\pi/6, \cos 2t=1/2\neq0, então há variação de distância.
  • CEm t=\pi/2, \cos 2t=-1\neq0; a distância varia.
  • EEm t=\pi, \cos 2t=1\neq0; há efeito Doppler.

Assuntos: efeito Doppler, velocidade relativa, cinemática vetorial.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗