PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 do IME 2022

Prova objetiva · Física

Anteparo reflexivo em forma de semi-circunferência, com uma fonte representada por um pequeno quadrado na extremidade esquerda e identificada pelo texto “fonte”. Um raio segue diretamente da fonte até um ponto à direita do arco; outro parte da fonte, atinge um ponto à esquerda na parte superior do arco e, após uma reflexão, chega ao mesmo ponto à direita. Setas indicam os sentidos de propagação dos raios.

Conforme ilustrado na figura, uma fonte localizada na extremidade de um anteparo, que é reflexivo e tem a forma de uma semi-circunferência, emite raios luminosos de comprimento de onda constante, em fase, em todas as direções.

Observações:

  • para cada ponto da semi-circunferência, considere apenas o efeito da interferência de uma única reflexão, como exemplificado na figura; e
  • considere que, na reflexão, o raio luminoso sofra uma inversão de fase.

Sabendo que a razão entre o raio da semi-circunferência e o comprimento de onda é 30, o número N de máximos locais de interferência que serão observados no anteparo é tal que:

  1. A
    N < 5
  2. B
    5 \leq N < 12
  3. C
    12 \leq N < 21
  4. D
    21 \leq N < 27
  5. E
    27 \leq N
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Resolução comentada

Coloque a fonte S numa extremidade do diâmetro e chame de P um ponto do arco. O raio direto percorre a corda SP. O raio refletido sai de S, bate num ponto Q do arco e vai até P. Para cada P só se considera uma reflexão, e pela figura Q fica entre S e P.

Seja R o raio e \theta o ângulo central de S até P. Então a corda direta mede d_1 = 2R\,\sen(\theta/2).

O caminho refletido é formado por duas cordas, SQ e QP. A figura mostra o trajeto que reflete uma vez e chega a P. Vale a lei da reflexão: como o raio é normal ao arco, o ângulo de incidência é igual ao de reflexão, e as cordas SQ e QP são iguais, com arcos de mesma medida. Logo Q é o ponto médio do arco SP. Cada corda mede 2R\,\sen(\theta/4), e d_2 = 4R\,\sen(\theta/4).

Diferença de caminho, com x=\theta/4:
\Delta = 4R\,\sen x - 2R\,\sen 2x = 4R\,\sen x\,(1-\cos x).

Como há inversão de fase na reflexão, o máximo exige \Delta = (m+\tfrac12)\lambda.

O ângulo \theta vai de 0 a 180^\circ, logo x vai de 0 a 45^\circ (\pi/4).

Valor máximo de \Delta em x=\pi/4:
\Delta = 4R\cdot 0{,}7071\cdot(1-0{,}7071)=4R\cdot 0{,}2071=0{,}8284R.

Com R=30\lambda: \Delta_{max}=24{,}85\lambda. Como \Delta cresce com x nesse intervalo, parte de 0 e chega a 24{,}85\lambda.

Os máximos ocorrem em \Delta=0{,}5\lambda;\,1{,}5\lambda;\dots;\,24{,}5\lambda, ou seja, m=0,\dots,24: são 25 máximos.

Como 21\le 25<27:

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima muito a diferença de caminho, contando poucos máximos.
  • BErra a geometria do caminho refletido e obtém diferença de caminho bem menor.
  • CSubestima a diferença máxima de caminho, resultando em menos máximos.
  • ESuperestima a contagem, por exemplo usando \Delta inteiro múltiplo de \lambda ou arredondando para cima.

Assuntos: interferência de ondas, reflexão com inversão de fase, geometria da circunferência.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗